Bài giảng đường thẳng song song với mặt phẳng

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

QUAN HỆ SONG SONG

BÀI GIẢNG ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nhận biết được đường thẳng song song với mặt phẳng.

+ Nắm được phương pháp chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng.

 Kĩ năng

+ Thành thạo các kỹ năng chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng.

TOANMATH.com Trang 2

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Vị trí tương đối của đường thẳng với mặt phẳng trong

không gian

Đường thẳng d song song với mặt phẳng   khi chúng

không có điểm chung.

Đường thẳng d cắt mặt phẳng   khi chúng có một điểm

chung duy nhất.

Đường thẳng d được chứa trong mặt phẳng   khi đường

thẳng d và mặt phẳng   có hai điểm chung trở lên.

Tính chất

a) Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng   thì

d song song với  . Khi và chỉ khi d song song với đường

thẳng d nằm trong  .

b) Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng  . Nếu

mặt phẳng   chứa a và cắt   theo giao tuyến b thì b

song song với a.

TOANMATH.com Trang 3

c) Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một

đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song

song với đường thẳng đó.

d) Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt

phẳng chứa đường này và song song với đường thẳng kia.

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

TOANMATH.com Trang 4

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Phương pháp giải

Chứng minh đường thẳng d không nằm trên mặt

phẳng   và song song với đường thẳng d nằm

trên mặt phẳng   thì đường thẳng d song song

với mặt phẳng  .

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình

bình hành. Chứng minh   // . AB SCD

Hướng dẫn giải

Ta có // AB CD mà   CD SCD  

  // . AB SCD

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD, gọi M là trung điểm của CD, E là trung điểm của AM và F là trung điểm của

BM.

a) Chứng minh rằng EF song song với các mặt phẳng   ABC và  . ABD

b) Lấy điểm N trên cạnh AC. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng  . NEF Thiết diện là hình

gì?

Hướng dẫn giải

a) Ta có EF là đường trung bình của tam giác ABM suy ra // . EF AB

Do   AB ABC  nên   // EF ABC và   AB ABD  nên   // . EF ABD

b) Kéo dài NE cắt AD tại P.

TOANMATH.com Trang 5

Do   // EF ABD nên kẻ // Px AB và cắt BD tại Q.

Kẻ QF cắt BC tại R.

Khi đó hình thang NPQR là thiết diện của mặt phẳng   NEF với tứ diện ABCD.

Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm ABD  và M là điểm trên cạnh BC sao cho 2 . BM MC 

Chứng minh đường thẳng MG song song với mặt phẳng  . ACD

Hướng dẫn giải

Gọi I là trung điểm của AD.

Ta có G là trọng tâm ABD  khi đó 2 . 3 BG BI 

Mặt khác, M BC  và 2 2 . 3 BM BM MC BC   

Từ đó suy ra . BG BM BI BC 

Áp dụng định lý Ta-lét đảo suy ra // . GM CI

Mà   CI ACD  nên   // . GM ACD

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, I là trung điểm cạnh SC. Chứng

minh đường thẳng OI song song với mặt phẳng   SAB và mặt phẳng  . SAD

Hướng dẫn giải

Ta có IO là đường trung bình của tam giác SAC suy ra // . IO SA

Do   SA SAB  và   SA SAD  từ đó suy ra   // IO SAB và

  // . IO SAD

Ví dụ 4. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, BD.

a) Chứng minh đường thẳng MN song song với mặt phẳng  . ACD

b) E là điểm nằm ở miền trong của tam giác ACD. Tìm giao điểm của đường thẳng BE và mặt phẳng

 . AMN

Hướng dẫn giải

a) Vì M, N lần lượt là trung điểm của BC, BD nên // . MN CD