Lý thuyết và một số bài tập giới hạn - Trần Sĩ Tùng

Đại số 11 Trần Sĩ Tùng

Trang 60

I. Giới hạn của dãy số Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực 1. Giới hạn đặc biệt:

1 lim 0 n n →+∞ = ; 1 lim 0 ( ) k n k n

+

→+∞ = ∈¢

lim 0 ( 1) n

n q q →+∞ = < ; lim n C C →+∞ =

2. Định lí : a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì • lim (un + vn) = a + b • lim (un – vn) = a – b • lim (un.vn) = a.b

• lim n

n

u a v b = (nếu b ≠ 0)

b) Nếu un ≥ 0, ∀n và lim un= a

thì a ≥ 0 và lim n u a =

c) Nếu n n u v ≤ ,∀n và lim vn = 0

thì lim un = 0 d) Nếu lim un = a thì lim n u a =

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

S = u1 + u1q + u1q2 + … = 1 1

u

q − ( ) 1 q <

1. Giới hạn đặc biệt:

lim n = +∞ lim ( ) k n k + = +∞ ∈¢

lim ( 1) n q q = +∞ > 2. Định lí:

a) Nếu lim n u = +∞ thì 1 lim 0

n u =

b) Nếu lim un = a, lim vn = ±∞ thì lim n

n

u v = 0

c) Nếu lim un = a ≠ 0, lim vn = 0

thì lim n

n

u v = . 0 . 0 n

n

neáu a v neáu a v +∞ > −∞ < 

d) Nếu lim un = +∞, lim vn = a

thì lim(un.vn) = 0 0 neáu a neáu a +∞ > −∞ < 

* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô

định: 0

0 , ∞

∞, ∞ – ∞, 0.∞ thì phải tìm cách khử

dạng vô định.

Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số: • Chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của n.

VD: a)

1 1 1 1 lim lim 3 2 3 2 2

n n n

n

+ + = = + + b)

2 1 1 3 3 lim lim 1 1 1 2 2

n n n n n

n

+ − + − = = − −

c) 2 2 2 4 1 lim( 4 1) lim 1 n n n n n

  − + = − + = +∞    

• Nhân lượng liên hợp: Dùng các hằng đẳng thức

( )( ) ( )( ) 3 3 2 2 3 3 3 ; a b a b a b a b a ab b a b − + = − − + + = −

VD: ( ) 2 lim 3 n n n − − = ( )( )

( )

2 2

2 3 3 lim 3

n n n n n n

n n n

− − − +

− + =

2 3 lim 3

n

n n n

−

− +

= 3 2 −

CHƯƠNG IV GIỚI HẠN

Trần Sĩ Tùng Đại số 11

Trang 61

• Dùng định lí kẹp: Nếu n n u v ≤ ,∀n và lim vn = 0 thì lim un = 0

VD: a) Tính sin lim n n . Vì 0 ≤ sin 1 n n n ≤ và 1 lim 0 n = nên sin lim 0 n n =

b) Tính 2 3sin 4cos lim

2 1

n n

n

−

+

. Vì 2 2 2 2 3sin 4cos (3 4 )(sin cos ) 5 n n n n − ≤ + + =

nên 0 ≤ 2 2 3sin 4cos 5

2 1 2 1

n n

n n

− ≤ + +

.

Mà 2 5 lim 0 2 1 n

= +

nên 2 3sin 4cos lim 0 2 1

n n

n

− = +

Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây: • Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0. • Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu. • Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là +∞ nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu cùng dấu và kết quả là –∞ nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu. Baøi 1: Tính các giới hạn sau:

a)

2

2 2 3 lim

3 2 1

n n

n n

− +

+ +

b) 3 2 2 1 lim

4 3

n

n n

+

+ +

c)

3 2

3 3 2 lim

4

n n n

n

+ +

+

d)

4

2 lim

( 1)(2 )( 1)

n

n n n + + +

e)

2

4

1 lim

2 1

n

n n

+

+ +

f)

4 2

3 2 2 3 lim

3 2 1

n n

n n

+ −

− +

Baøi 2: Tính các giới hạn sau:

a) 1 3 lim

4 3

n

n +

+

b)

1 4.3 7 lim

2.5 7

n n

n n

+ +

+

c)

1 2 4 6 lim

5 8

n n

n n

+ + +

+

d)

1 2 5 lim

1 5

n n

n

+ +

+

e) 1 2.3 7 lim

5 2.7

n n

n n + −

+

f) 1 1 2.3 6 lim

2 (3 5)

n n

n n+ − +

−

Baøi 3: Tính các giới hạn sau:

a)

2

2 4 1 2 1 lim 4 1

n n

n n n

+ + −

+ + +

b)

2

2

3 4 lim 2

n n

n n

+ − −

+ + c)

3 2 6

4 2 1 lim 1

n n

n n

+ −

+ +

d)

2

2 4 1 2 lim 4 1

n n

n n n

+ +

+ + +

e) (2 1)( 3) lim ( 1)( 2) n n n n n + + + + f)

2 2

2 4 4 1 lim 3 1

n n n

n n

− − +

+ +

Baøi 4: Tính các giới hạn sau:

a) 1 1 1 lim ... 1.3 3.5 (2 1)(2 1) n n   + + +   − +  

b) 1 1 1 lim ... 1.3 2.4 ( 2) n n   + + +   +  

c) 2 2 2 1 1 1 lim 1 1 ... 1 2 3 n

     − − −          

d) 1 1 1 lim ... 1.2 2.3 ( 1) n n   + + +   +  

e) 2 1 2 ... lim

3

n

n n

+ + +

+

f)

2

2 1 2 2 ... 2 lim

1 3 3 ... 3

n

n + + + +

+ + + +