Chuyên đề giới hạn của dãy số - Nguyễn Quốc Tuấn

Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 1

CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN

CHỦ ĐỀ 1 : GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số

I. Dãy số có giới hạn hữu hạn

1. Định nghĩa: Ta nói dãy số (un) có giới hạn là L hay (un) dần tới L khi n dần tới vô cực (n ), nếu   lim 0. n n u L    Kí hiệu:

  n lim hay u khi n + . n n u L L     

 Chú ý:     lim lim n n n u u   .

2. Một số định lý:

 Định lí 1: Giả sử lim nu L  , khi đó:

 3 3 lim ,lim n n u L u L  

 Nếu 0, 0 n u n L    và lim nu L 

 Định lí 2: Giả sử lim ,lim , n n u L v M c const     lim( ) n n u v L M     lim( ) n n u v L M     lim( . ) . n n u v L M  , lim . . n cu c L 

 lim ( 0) n

n

u L M v M  

 Định lí 3: Cho 3 dãy số ( ),( ),( ) n n n u v w . Nếu , n n n u v w n    và

lim lim lim n n n u w L v L      Định lí 4: Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn. Dãy số giảm

và bị chặn dưới thì có giới hạn. 3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

S = u1 + u1q + u1q2 + … = 1 1

u

q    1 q 

II. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC

1. Dãy số có giới hạn : lim nu  mọi số hạng của dãy số đều lớn hơn một số dương tùy ý cho trước kể từ số hạng nào đó trở đi. 2. Dãy số có giới hạn : lim nu  mọi số hạng của dãy số đều nhỏ hơn một số âm tùy ý cho trước kể từ số hạng nào đó trở đi.

Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 2

Chú ý: lim lim( )    n n u u

3. Một vài qui tắc tìm giới hạn vô cực:

o Qui tắc 1:

lim n u lim nv lim . n n u v

      

o Qui tắc 2:

lim n u Dấu của

lim nv L 

lim . n n u v

      

o Qui tắc 3:

lim 0 nu L   Dấu của L

lim 0, 0 n n v v   Dấu của lim nv

lim n

n

u

v

+   -   

Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 3

Loại 1: Giới hạn của dãy số hữu tỉ

Phương pháp: Xem xét bậc cao nhất của tư và mẫu. Sau đó, chia tử và mẫu cho bậc cao nhất của tử và mẫu. Hoặc cũng có thể đặt nhân tử cao nhất của từ và mẫu để được những giới hạn cơ bản. Tính giới hạn này.

Hướng dẫn giải

a. Ta có biến đổi:

3 3 2 3

2 3

3

2

3 6 5 5 3 6 lim lim 4 7 4 3 7 3

n n n n n n n n n n n

                   

3

2

3 6 5 5 lim 4 7 3 3

n n

n n

     

Vì khi n  thì

3

2

3 lim 0

6 lim 0

4 lim 0

7 lim 0

n

n

n

n

             

b. Ta có biến đổi:

4 2

2 4 6 2 1 lim 1 5 3 n n n n     =

4 4 2 2 4

2 4

4

4 2

2 1 6 6 2 1 lim lim 1 5 1 5 3 3

n n n n n n n n n n

                    

2 4

4 2

2 1 6 lim 1 5 3

n n

n n

  

 

=-2

Bài tập mẫu 1: Tính các giới hạn sau:

a.

3 2

2 3 5 3 6 lim 4 3 7 n n n n n    

c.

2

2 2 3 lim

3 2 1

n n

n n

 

 

b.

4 2

2 4 6 2 1 lim 1 5 3 n n n n    

d.

2

2 2 3 1 lim 1 n n n    

e.

2 4 2017 lim

4 1

n

n n





f.    n n n

2 1 4 lim 3 2