Chuyên đề giới hạn của dãy số - Huỳnh Ái Hằng

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…] Chuyên đề: GIỚI HẠN

Giáo viên: HUỲNH ÁI HẰNG…0935.905.892… 1 CLB Giáo viên trẻ TP Huế

Tác giả: HUỲNH ÁI HẰNG (Huế) Biên tập: Lê Bá Bảo (Huế)

CHUYÊN ĐỀ: GIỚI HẠN

Chủ đề 1:

I- LÝ THUYẾT:

1. ĐỊNH LÍ 1: Cho hai dãy số    , n n u v . Nếu ; *

lim 0

n n

n

u v n

v

     

 thì lim 0 n u .

2. CÁC PHÉP TOÁN: Giả sử lim , lim n n u L v M      và c là một hằng số. Khi đó:

   

   

*

* ;

* lim lim . .

* lim . . lim 0

n n n n

n n n

u v L M u v L M

u L c u c L M v M

   

  

Định lý 1:NGUYÊN LÝ WEIERSTRASS

Một dãy số tăng và bị chặn trên ( hoặc giảm và bị chặn dưới ) thì có giới hạn.

Định lý 2: (ĐỊNH LÝ KẸP GIỮA)

Cho 3 dãy số ( ( ), ( ), ) n n n u v w với: ; *. n n n v u w n   

Lúc đó: lim lim lim

n n n

v A u A w A

        





[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…] Chuyên đề: GIỚI HẠN

Giáo viên: HUỲNH ÁI HẰNG…0935.905.892… 2 CLB Giáo viên trẻ TP Huế

*CÁC KẾT QUẢ QUAN TRỌNG:

*   lim , c c c   * 3 3

lim lim lim

n

n

n

u L u L u L

      

* và

lim 0 lim 0

n n n

u L L u L u n

        

* Tổng cấp số nhân lùi vô hạn   1 q  :

2 1 1 1 1 ... 1 u S u u q u q q      

* 1 lim lim 0 n n u u  

* 3 1 1 1 lim 0; lim 0; lim 0; n n n   

* lim 0 n q  nếu 1 q 

*   * 1 lim 0 k k n   Mở rộng: lim 0 k c n 

* 3 lim ; lim ; lim n n n   

* lim n q nếu 1 q 

*   * lim , k n k  

3. MỘT VÀ QUY TẮC TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ:

lim , lim n n u v   lim , lim 0 n n u v L    lim 0, lim 0 n n u L v   

lim n u lim n v lim . n n u v lim n u Dấu L lim . n n u v Dấu L Dấu n v lim n

n

u v









































































II – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA:

Câu 1. Với k là số nguyên dương thì 1 lim k n

bằng

A. . B. . C. 0 . D. 1 . Hướng dẫn:

  * 1 lim 0, k k n   .

Lựa chọn đáp án C.

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…] Chuyên đề: GIỚI HẠN

Giáo viên: HUỲNH ÁI HẰNG…0935.905.892… 3 CLB Giáo viên trẻ TP Huế

Câu 2. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A.   1 1 lim lim ; k k n n  . B. lim 0 n q  nếu 1 q .

C. limc c  (c là hằng số). D. 3 3 lim lim n n u u  .

Hướng dẫn:

lim 0 n q  nếu 1 q .

Lựa chọn đáp án B.

Câu 3. Cho dãy số   n u thỏa mãn 2 1 2 n u n   với mọi n. Khi đó, lim n u có giá trịbằng

A. 2 . B. 2 . C. 0 . D. 1 . Hướng dẫn:

Vì 2 1 2 n u n   và 2 1 lim 0 n  nên   lim 2 0 n u   . Vậy lim 2 n u  .

Lựa chọn đáp án A.

Câu 4. Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0?

A. 1 1 n. B. 1

n

. C. 1. n n  D. cosn

n

.

Hướng dẫn:

1 1 lim lim 1 1 0 n n n

              

.

Lựa chọn đáp án C.

Câu 5. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?

A. 3 2

n     

. B. 5 4

n         

. C. 2 3

n     

. D. 4 3

n         

.

Hướng dẫn:

Vì 2 1 1 3   nên 2 lim 0 3

n       

.

Lựa chọn đáp án C.

Câu 6. Dãy nào sau đây không có giới hạn?

A. 2 3

n     

. B. 2 3

n         

. C.   0,99 n  . D.   1 n  .

Hướng dẫn:

Nếu n chẵn thì   1 1 n  , n lẻthì   1 1 n  . Do đó dãy số   1 n  không có giới hạn.

Lựa chọn đáp án D.