Chuyên đề Giới hạn - Lư Sĩ Pháp

Quý đọc giả, quý thầy cô và các em học sinh thân mến! Nhằm giúp các em học sinh có tài liệu tự học môn Toán, tôi biên soạn cuốn giải toán trọng tâm của lớp 11. Nội dung của cuốn tài liệu bám sát chương trình chuẩn và chương trình nâng cao về môn Toán đã được Bộ Giáo dục và Đào tạo quy định. NỘI DUNG 1. Lí thuyết cần nắm ở mỗi bài học 2. Bài tập có hướng dẫn giải và bài tập tự luyện 3. Trắc nghiệm Cuốn tài liệu được xây dựng sẽ còn có những khiếm khuyết. Rất mong nhận được sự góp ý, đóng góp của quý đồng nghiệp và các em học sinh để lần sau cuốn bài tập hoàn chỉnh hơn. Mọi góp ý xin gọi về số 01655.334.679 – 0916 620 899 Email: lsp02071980@gmail.com

Chân thành cảm ơn.

Lư Sỹ Pháp GV_ Trường THPT Tuy Phong

LỜI NÓI ĐẦU

MỤC LỤC §1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 01 - 15 §2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 16 – 33 §3. HÀM SỐ LIÊN TỤC 34 – 42 ÔN TẬP CHƯƠNG IV 43 – 51 TRẮC NGHIỆM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 52 – 55 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 55 – 60 HÀM SỐ LIÊN TỤC 60 – 62 ÔN TẬP CHƯƠNG IV 62 – 69 ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM 69 – 71

GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11

1 BT. ĐS&GT 11 Chương IV. Giới hạn

Chương IV. GIỚI HẠN §1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A. KIẾN THỨC CẤN NẮM 1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

n n u lim 0 →+∞ = khi và chỉ khi nu có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở

đi. n n n n v a v a lim lim ( ) 0 →+∞ →+∞ = ⇔ − =

Dãy số (un) có giới hạn 0 khi và chỉ khi dãy số ( ) nu có giới hạn 0

2. Giới hạn vô cực

n n u lim →+∞ = +∞ khi và chỉ khi nu có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó

trở đi. Kí hiệu: n n u hay u khi n lim = +∞ →+∞ →+∞

Dãy số ( nu ) được gọi là có giới hạn −∞ khi n →+∞ nếu nu lim( ) − = +∞

Nhận xét: n n n n u u lim lim ( ) →+∞ →+∞ = +∞⇔ − = −∞; n n n n u u lim lim ( ) →+∞ →+∞ = −∞⇔ − = +∞

Lưu ý: Thay cho viết n n n n u L u lim , lim →+∞ →+∞ = = ±∞, ta viết n n u a u lim ,lim = = ±∞

3. Các giới hạn đặc biệt

a) n 1 lim 0 = ; k n 1 lim 0 = ; kn lim = +∞, với k nguyên dương.

b) n q lim 0 = , nếu q 1 < ; n q lim = +∞ nếu q > 1

c) c c lim = ; k c n lim 0 = , lim(c un) = climun, với c là hằng số, k * ∈ℕ

d) n n q lim 0 = nếu q 1 >

4. Định lí về giới hạn hữu hạn Định lí 1. Nếu nu L lim = và nv M lim = , thì:

n n n n u v u v L M lim( ) lim lim + = + = +

n n n n u v u v L M lim( ) lim lim − = − = −

n n n n u v u v L M lim . lim .lim . = =

n c u c L lim( . ) . = ( với c là hằng số)

n

n

u L v M lim = (nếu M 0 ≠ )

Định lí 2. Giả sử nu L lim =

Nếu nu 0 ≥ với mọi n thì L 0 ≥ và nu L lim =

nu L lim = và nu L 3 3 lim =

Nếu nu lim = +∞ thì

nu 1 lim 0 =

5. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực

a) Quy tắc 1. Nếu nu lim = ±∞ và nv lim = ±∞thì ( ) n n u v lim được cho trong bảng:

GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11

2 BT. ĐS&GT 11 Chương IV. Giới hạn

nu lim nv lim ( ) n n u v lim

+∞ +∞ −∞ −∞

+∞ −∞ +∞ −∞

+∞ −∞ −∞ +∞ b) Quy tắc 2. Nếu nu lim = ±∞ và nv L lim 0 = ≠ thì ( ) n n u v lim được cho trong bảng:

nu lim Dấu của L ( ) n n u v lim

+∞ +∞ −∞ −∞

+ − + −

+∞ −∞ −∞ +∞

c) Quy tắc 3. . Nếu nu L lim 0 = ≠ và nv lim 0 = và nv 0 > hoặc nv 0 < thì n

n

u v lim       

được cho trong

bảng: Dấu của L Dấu của nv n

n

u v lim       

+ + − −

+ − + −

+∞ −∞ −∞ +∞

Chú ý . Nếu n n u L v lim 0,lim = > = ±∞ thì n

n

u v lim 0 =

6. Tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân có công bội q thỏa mãn q 1 <

Công thức tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn (un)

n

u S u u u u q q

1 1 2 3 ... ... ; 1 1 = + + + + + = < − hay n u S u u q u q u q q q

2 1 1 1 1 1 1 ... ... ; 1 1

− = + + + + + = < −

7. Định lí kẹp về giới hạn của dãy số

Cho ba dãy số (un), (vn) ,(wn) và số thực L. Nếu n n n u v w ≤ ≤ với mọi n và lim un = lim wn = L thì dãy số (vn) có giới hạn và lim vn = L. 8. Lưu ý

a) Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn b) Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn c) Nếu limun = a thì limun + 1 = a

d) Số e:

n

n e n 1 lim 1 →+∞

  = +    

9. Phương pháp tìm giới hạn của dãy số - Vận dụng nội dung định nghĩa - Tìm giới hạn của một dãy số ta thường đưa về các giới hạn dạng đặc …