Chuyên đề giới hạn dãy số, giới hạn hàm số và hàm số liên tục

Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam GIỚI HẠN DÃY SỐ A. LÝ THUYẾT I. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN 0 .

1. Định nghĩa

Ta nói rằng dãy số   nu có giới hạn 0 ( hay có giới hạn là 0 ) nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó. Kí hiệu: lim 0 n u  .

Nói một cách ngắn gọn, lim 0 n u  nếu nu có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Từ định nghĩa suy ra rằng:

a) lim 0 lim 0 n n u u    .

b) Dãy số không đổi   nu , với 0 n u  , có giới hạn là 0 .

c) Dãy số   nu có giới hạn là 0 nếu nu có thể gần 0 bao nhiêu cũng được, miễn là n đủ lớn.

2. Một số dãy số có giới hạn 0 Định lí 4.1

Cho hai dãy số   nu và   nv .

Nếu n n u v  với mọi n và lim 0 nv  thì lim 0 n u  .

Định lí 4.2

Nếu 1 q  thì lim 0 n q  .

Người ta chứng mình được rằng

a) 1 lim 0 n

 .

b) 3

1 lim 0 n



c) 1 lim 0 kn  với mọi số nguyên dương k cho trước.

Trường hợp đặc biệt : 1 lim 0 n  .

d)lim 0

k

n n a  với mọi * k và mọi 1 a cho trước.

II. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN.

1. Định nghĩa

Ta nói rằng dãy số   nu có giới hạn là số thực L nếu   lim 0 nu L   .

Kí hiệu: lim n u L  .

Dãy số có giới hạn là một số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.

a) Dãy số không đổi   nu với n u c  , có giới hạn là c .

b) lim n u L  khi và chỉ khi khoảng cách nu L  trên trục số thực từ điểm nu đến L trở nên nhỏ

bao nhiêu cũng được miễn là n đủ lớn; nói một cách hình ảnh, khi n tăng thì các điểm nu “ chụm lại” quanh điểm L.

Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam c) Không phải mọi dãy số đều có giới hạn hữu hạn. 2. Một số định lí Định lí 4.3

Giả sử lim n u L  . Khi đó

a)lim nu L  và 3 3 lim nu L  .

b) Nếu 0 n u  với mọi n thì 0 L  và lim nu L  .

Định lí 4.4

Giả sử lim n u L  ,lim nv M  và c là một hằng số. Khi đó

a)   lim n n u v L M    . b)   lim n n u v L M    .

c)   lim n n u v LM  . D)   lim n cu cL  .

e)lim n

n

u L v M  (nếu 0 M  ).

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Định nghĩa

Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân có công bội q thỏa 1 q .

Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

2 1 1 1 1 ... 1

u S u u q u q q     

III. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC.

1. Dãy số có giới hạn 

Ta nói rằng dãy số   nu có giới hạn  nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó. Kí hiệu: lim n u .

Nói một cách ngắn gọn, lim n u nếu nu có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Người ta chứng minh được rằng:

a) lim nu .

b) 3 lim nu 

c)lim kn với một số nguyên dương k cho trước. Trường hợp đặc biệt : limn .

d)lim n q  nếu 1 q .

2. Dãy số có giới hạn 

Ta nói rằng dãy số   nu có giới hạn  nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó. Kí hiệu: lim n u .

Nói một cách ngắn gọn, lim n u nếu nu có thể nhỏ hơn một số âm nhỏ tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Nhận xét:

a)   lim lim n n u u   .