Chuyên đề giới hạn - liên tục - Trần Quốc Nghĩa

GV. TR GV. TR GV. TR GV. TRẦN QU N QU N QU N QUỐC NGH NGH NGH NGHĨA ĨA ĨA ĨA (S (S (S (Sưu t u t u t u tầm & biên t m & biên t m & biên t m & biên tập) p) p) p) 1

GIỚI HẠN – LIÊN TỤC

Vấn đề 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

A A A A - GI GI GI GIỚI H I H I H I HẠN H N H N H N HỮU H U H U H U HẠN  Giới hạn hữu hạn

• lim 0 n n n u u →+∞ = ⇔ có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

• Dãy số ( ) n u có giới hạn là L nếu: ( ) lim lim 0 n n n n v L v L →+∞ →+∞ = ⇔ − =

 Lưu ý: Ta có thể viết gọn: lim 0, lim n n u u L = = .

 Giới hạn đặc biệt

1) 1 lim 0 n = 2) 1 lim 0 n

= 3) 3 1 lim 0 n

=

4) 0 lim 0 n n u u =  = 5) lim , C C C = ∀ ∈ℝ 6) lim 0 n q = nếu 1 q < )

7) 1 lim 0, * k k n = ∈ℕ 8) lim n q = +∞ nếu 1 q > 9) lim , * kn k = +∞ ∈ℕ

 Định lí về giới hạn

• Nếu hai dãy số ( ) n u và ( ) nv cùng có giới hạn thì ta có:

1) lim lim ( li ) m n n n n u v u v ± = ± 2) ( ) lim . lim .lim n n n n u v u v =

3) lim lim lim

n n

n n

u u v v = (nếu lim 0 nv ≠ ) 4) ( ) lim . .li , ( m ) n n k u k u k = ∈ℝ

5) lim lim n n u u = 6) 2 2 lim lim k k n n u u = (nếu 0 n u ≥ ) (căn bậc chẵn)

7) 2 1 2 1 lim lim k k n n u u + + = (căn bậc lẻ) 8) Nếu n n u v ≤ và lim 0 nv = thì lim 0 nu = .

- Định lí kẹp về giới hạn của dãy số: Cho ba dãy số ( ) n u , ( ) nv , ( ) n w và L∈ℝ. Nếu

n n n u v w ≤ ≤ , * n ∀∈ℕ và lim lim n n u w L = = thì ( ) nv có giới hạn và lim nv L = .

• Nếu lim nu a = và lim nv = ±∞ thì lim 0 n

n

u v = .

1) Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn.

2) Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn.

 Chú ý: e lim 2,718281828459...

n 1 1+ n   = ≈     , là một số vô tỉ.

 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

• Một cấp số nhân có công bội q với | 1 | q < được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Ta có : 2 1 1 1

1 1 S u u q u q u

q = + +…= − + (với | 1 | q < )

4 Chủ đề

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 TOÁN 11 TOÁN 11 TOÁN 11 2

B B B B - GI GI GI GIỚI H I H I H I HẠN VÔ C N VÔ C N VÔ C N VÔ CỰC  Định nghĩa

• lim n n u →+∞ = +∞ nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số

hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó. • lim n n u →+∞ = −∞ nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng

nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó. • ( ) lim lim n n n n u u →+∞ →+∞ = −∞⇔ − = +∞

 Lưu ý: Ta có thể viết gọn: lim nu = ±∞.

 Định lí − n n

1 lim u =+ thì lim = 0 u ∞ Neáu

− Nếu ( ) lim 0, 0, lim n n n

1 u u n u = ≠ ∀∈ ⇔ = ∞ ℕ

 Một vài qui tắc tìm giới hạn

Qui tắc 1: Nếu lim nu = ±∞

và lim nv = ±∞,

thì ( ) lim . n n u v là:

Qui tắc 2: Nếu lim nu = ±∞

và lim 0 nv L = ≠ ,

thì ( ) lim . n n u v là:

Qui tắc 3: Nếu lim 0 n u L = ≠ ,

lim 0 nv = và 0 nv > hoặc

0 nv < kể từ một số hạng nào

đó trở đi thì:

Dạng 1. Dãy có giới hạn 0

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

• Dãy ( ) n u có giới hạn 0 nếu mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó. Khi đó ta viết: ( ) lim 0 n u = hoặc lim 0 nu = hoặc 0 n u → .

* 0 0 lim 0 0, : n n u n n n u ε ε = ⇔∀> ∃ ∈ >  < ℕ

• Một số kết quả: (xem phần tóm tắt lý thuyết)  Chú ý: Sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh, đánh giá biểu thức lượng giá, nhân liên hợp của căn thức, …

B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 1. Chứng minh các dãy sau có giới hạn là 0 :

a) 1

3 n u n = + b) ( )1

4

n

n u n

− = + c) 2 1

n u n = d) 1

n k u n = , * k ∈ℕ

c) 1 3 n n u = b) ( )1 2

n

n n u − = c) ( ) 0,99

n n u = d) ( ) 0,97

n n u = −

L Dấu của vn lim n

n

u v

+ + − −

+ − + −

+∞ −∞ −∞ +∞

lim n u Dấu của L ( ) lim . n n u v

+∞ +∞ −∞ −∞

+ − + −

+∞ −∞ −∞ +∞

lim n u lim n v ( ) lim . n n u v

+∞ +∞

−∞ −∞

+∞ −∞ +∞ −∞

+∞ −∞ −∞ +∞