Trắc nghiệm nâng cao giới hạn - Đặng Việt Đông

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới Hạn Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

––

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới Hạn Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

GIỚI HẠN

A - LÝ THUYẾT CHUNG

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

I. Giới hạn hữu hạn của dãy số

1. Định nghĩa  Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số   n u có giới hạn là 0 khi n dần đến dương vô cực và viết

lim 0 n n u   viết tắt là lim 0 nu  hoặc 0 nu  , nếu mọi số hạng của dãy số đều có giá trị tuyệt

đối nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.  Định nghĩa 2: Ta nói rằng dãy số   n u có giới hạn là số thực a khi n dần đến dương vô cực và

viết lim n n u a   , viết tắt là lim nu a  hoặc nu a  , nếu   lim 0 n n u a   

2. Một vài giới hạn đặc biệt

a) 1 lim 0 n  ; 1 lim 0 kn  với k nguyên dương

b) lim 0 n q  nếu 1 q 

c) Nếu nu c  (c là hằng số) thì lim lim nu c c  

II. Định lý về giới hạn hữu hạn

Định lý 1:

a) Nếu lim nu a  , lim nv b  thì

   lim n n u v a b   

   lim n n u v a b   

   lim . n n u v a b 

 lim n

n

u a v b  (nếu 0 b  )

b) Nếu 0 nu  với mọi n và lim nu a  thì 0 a  và lim n u a 

III. Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân vô hạn 1 2 3 , , ,....... ,....... n u u u u có công bội q với 1 q  gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Tổng

S của cấp số nhân đó là:

2 1 1 1 1 ... 1

u S u u q u q q      .

IV. Giới hạn vô cực

1. Định nghĩa:  Ta nói dãy số   n u có giới hạn  nếu với mỗi số dương tùy ý, mọi số hạng của dãy số, kể từ

một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó. Khi đó ta viết   lim n u  hoặc

lim( ) nu  hoặc nu 

 Ta nói dãy số   n u có giới hạn  nếu với mỗi số âm tùy ý, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới Hạn Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Khi đó ta viết   lim n u hoặc lim nu  hoặc nu 

2. Một vài giới hạn đặc biệt a) lim kn  với k nguyên dương b) lim n q  nếu 1 q  3. Định lý 2:

a) Nếu lim nu a  và lim nv  thì lim 0 n

n

u v 

b) Nếu lim 0 nu a   , lim 0 nv  và 0 nv  với mọi n thì lim n

n

u v 

c) Nếu lim nu  và lim 0 nv a   thì   lim n n u v 

V. Một số lưu ý:

Khi làm bài tập trắc nghiệm, ta có thể làm như bài tập tự luận, sau khi tính toán sẽ chọn kết quả phù hợp với yêu cầu của bài toán

Ngoài ra có thể sử dụng các nhận xét để có kết quả nhanh chóng, chính xác hơn. Có một số bài tập có thể nhận xét nhanh để loại trừ được những phương án không phù hợp

GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

1. Định lý: a) Giả sử 

0 lim x x f x L   và 

0 lim x x g x M   . Khi đó:

  

0 lim x x f x g x L M        

  

0 lim x x f x g x L M        

  

0 lim . . x x f x g x L M      

   0 lim x x f x L g x M   (nếu 0 M  )

b) Nếu  0 f x  với mọi  0 \ x J x  , trong đó J là một khoảng nào đó chứa 0x thì 0 L  và



0 lim x x f x L  

2. Một vài giới hạn đặc biệt  lim k

x x   với k nguyên dương

 lim k

x x   nếu k là số lẻ

 lim k

x x   nếu k là số chẵn

3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực

Định lý về giới hạn của tích và thương hai hàm số chỉ áp dụng được khi các hàm số có giới hạn hữu hạn

Sau đây là một số quy tắc tính giới hạn của tích và thương hai hàm số khi một trong hai hàm số có giới hạn vô cực.

Nếu 

0 lim 0 x x f x L    và 

0 lim x x g x   thì