Một số vấn đề cơ bản về giới hạn của dãy số - Nguyễn Hữu Hiếu

Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn

Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 1

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa 1

Dãy số   n u được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ta có 1 n n u u  

Dãy số   n u được gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ta có 1 n n u u  

2. Định nghĩa 2

Dãy số   n u được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho

, * nu M n  

Dãy số   n u được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho

, * n u m n  

Dãy số   n u được gọi là dãy số bị chặn nếu tồn tại một số M và một số m sao cho

, * n m u M n   

3. Định lý 1

a. Mọi dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ. b. Mọi dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ. 4. Định lí 2

a. Mọi dãy tăng và không bị chặn trên thì tiến tới . b. Mọi dãy giảm và không bị chặn dưới thì tiến tới . 5. Định lý 3

a. Nếu một dãy   n u hội tụ đến a thì mọi dãy con trích từ   n u cũng hội tụ đến a .

b.   n u hội tụ đến a   2n u và   2 1 n u  hội tụ đến a .

6. Định lý 4

a. Nếu lim 0 n n u   và 0, nu n   thì 1 lim n n u  

b. Nếu lim n n u   và 0, nu n   thì 1 lim 0 n n u  

7. Định lý 5.(Định lý kẹp giữa về giới hạn). Nếu với mọi 0 n n  ta luôn có n n n u x v   và

lim lim n n u v a   thì lim nx a 

8. Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass để chứng minh dãy số có giới hạn

Bài toán. Chứng minh dãy số   nu xác định bởi  

1

1 ; 2 n n

u a

u f u n 

    

có giới hạn hữu hạn và

tìm giới hạn đó (  f x là hàm số liên tục).

Phương pháp giải

a) Dãy   nx bị chặn. Nếu  f x là hàm số tăng trên   ;a b thì dãy   nx đơn điệu và hội

tụ đến L là nghiệm của phương trình  f x x  .

Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn

Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 2

b) Nếu  f x là hàm số nghịch biến thì các dãy con    2 2 1 ; n n x x  của dãy   nx ngược

chiều biến thiên. Nhận xét: Nếu dãy   2n x hội tụ đến L , dãy   2 1 n x  hội tụ đến K :

Với L K  thì dãy   nx không có giới hạn;

Với L K  thì dãy   nx có giới hạn là L .

II. BÀI TẬP 1. CHỨNG MINH DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN

Bài 1. Cho dãy số n (u )xác định bởi công thức

1

* 1 2

3

1 3 2 ; ( ). 3 n n

n

u

u u n u

. Chứng minh

dãy số có giới hạn. Tính lim n u ?

Lời giải

Theo công thức xác định dãy ( ) n u , ta có * 0; n u n .

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

3 2 * 3 1 2 2 2 1 3 1 3 3 2 . 3 ; 3 3 n n n n n n n n u u u u u n u u u

.

Do đó: 3 * 3 ; n u n .

Mặt khác:

3

1 2 2 2 3 2 1 1 3 1 0 3 3 3

n n n n n n n n n

u u u u u u u u u

.

Vậy ( ) n u là dãy số giảm và bị chặn dưới nên nó có giới hạn.

Giả sử, lim n u a .Ta có: 3 2 2 2 1 3 3 3 a a a a a a

.

Kết luận. 3 lim 3 n u .

Bài 2. Chứng minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó

Bài 3. Chứng minh dãy số

0

1

1

1 ; 1,2,3... 3 n

n

u

u n u 

         

có giới hạn và tìm giới hạn đó.

a) n x : 1 1

3 1 , 6 2 1

n n

n

x x x x

b) n x : 1 1 2; 2 n n x x x

c) n x : ! ; 2 1 !! n

n x n N n

d) n x : 1 1 13; 12 n n x x x

e) n x : 2 1 1 1 4 ; 2 3 n n n x x x x