Lý thuyết và bài tập chuyên đề giới hạn - Lư Sĩ Pháp

Quý đọc giả, quý thầy cô và các em học sinh thân mến! Nhằm giúp các em học sinh có tài liệu tự học môn Toán, tôi biên soạn cuốn giải toán trọng tâm của lớp 11. Nội dung của cuốn tài liệu bám sát chương trình chuẩn và chương trình nâng cao về môn Toán đã được Bộ Giáo dục và Đào tạo quy định. NỘI DUNG 1. Tóm tắt lý thuyết cần nắm ở mỗi bài học 2. Bài tập có hướng dẫn giải và bài tập tự luyện 3. Phần bài tập trắc nghiệm đủ dạng và có đáp án. 4. Một số đề ôn kiểm tra Cuốn tài liệu được xây dựng sẽ còn có những khiếm khuyết. Rất mong nhận được sự góp ý, đóng góp của quý đồng nghiệp và các em học sinh để lần sau cuốn bài tập hoàn chỉnh hơn. Mọi góp ý xin gọi về số 0355.334.679 – 0916 620 899 Email: lsp02071980@gmail.com

Chân thành cảm ơn.

Lư Sĩ Pháp

LỜI NÓI ĐẦU

MỤC LỤC

§1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ ...................................................... 01 - 19 §2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ .................................................... 20 – 40 §3. HÀM SỐ LIÊN TỤC ............................................................... 41 – 56 ÔN TẬP CHƯƠNG IV .................................................................. 57 – 79 MỘT SỐ ĐỀ ÔN KIỂM TRA ...................................................... 80 – 88

Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp

1 Chương IV. Giới hạn 0916620899 – 0355334679

CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN

§1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

A. KIẾN THỨC CẤN NẮM 1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

n n u lim 0 →+∞ = khi và chỉ khi nu có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở

đi. n n n n v a v a lim lim ( ) 0 →+∞ →+∞ = ⇔ − =

Dãy số (un) có giới hạn 0 khi và chỉ khi dãy số ( ) nu có giới hạn 0

2. Giới hạn vô cực

n n u lim →+∞ = +∞ khi và chỉ khi nu có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó

trở đi. Kí hiệu: n n u hay u khi n lim = +∞ →+∞ →+∞

Dãy số ( nu ) được gọi là có giới hạn −∞ khi n →+∞ nếu nu lim( ) − = +∞

Nhận xét: n n n n u u lim lim ( ) →+∞ →+∞ = +∞⇔ − = −∞; n n n n u u lim lim ( ) →+∞ →+∞ = −∞⇔ − = +∞

Lưu ý: Thay cho viết lim , lim n n n n u a u →+∞ →+∞ = = ±∞, ta viết n n u a u lim ,lim = = ±∞

3. Các giới hạn đặc biệt

a) n 1 lim 0 = ; k n 1 lim 0 = ; kn lim = +∞, với k nguyên dương.

b) n q lim 0 = , nếu q 1 < ; n q lim = +∞ nếu q > 1

c) c c lim = ; k c n lim 0 = , lim(c un) = climun, với c là hằng số, k * ∈ℕ

d) n n q lim 0 = nếu q 1 >

4. Định lí về giới hạn hữu hạn Định lí 1. Nếu nu L lim = và nv M lim = , thì:

n n n n u v u v L M lim( ) lim lim + = + = +

n n n n u v u v L M lim( ) lim lim − = − = −

n n n n u v u v L M lim . lim .lim . = =

n c u c L lim( . ) . = ( với c là hằng số)

n

n

u L v M lim = (nếu M 0 ≠ )

Định lí 2. Giả sử nu L lim =

Nếu nu 0 ≥ với mọi n thì L 0 ≥ và nu L lim =

nu L lim = và nu L 3 3 lim =

Nếu nu lim = +∞ thì

nu 1 lim 0 =

5. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực

a) Quy tắc 1. Nếu nu lim = ±∞ và nv lim = ±∞thì ( ) n n u v lim được cho trong bảng:

Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp

2 Chương IV. Giới hạn 0916620899 – 0355334679

nu lim nv lim ( ) n n u v lim

+∞ +∞ −∞ −∞

+∞ −∞ +∞ −∞

+∞ −∞ −∞ +∞ b) Quy tắc 2. Nếu nu lim = ±∞ và nv L lim 0 = ≠ thì ( ) n n u v lim được cho trong bảng:

nu lim Dấu của L ( ) n n u v lim

+∞ +∞ −∞ −∞

+ − + −

+∞ −∞ −∞ +∞

c) Quy tắc 3. Nếu nu L lim 0 = ≠ và nv lim 0 = và nv 0 > hoặc nv 0 < thì n

n

u v lim       

được cho trong

bảng: Dấu của L Dấu của nv n

n

u v lim       

+ + − −

+ − + −

+∞ −∞ −∞ +∞

Chú ý . Nếu n n u L v lim 0,lim = > = ±∞ thì n

n

u v lim 0 =

6. Tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân có công bội q thỏa mãn q 1 <

Công thức tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn (un)

n u S u u u u q q

1 1 2 3 ... ... ; 1 1 = + + + + + = < − hay n u S u u q u q u q q q

2 1 1 1 1 1 1 ... ... ; 1 1

− = + + + + + = < −

7. Định lí kẹp về giới hạn của dãy số

Cho ba dãy số (un), (vn) ,(wn) và số thực L. Nếu n n n u v w ≤ ≤ với mọi n và lim un = lim wn = L thì dãy số (vn) có giới hạn và lim vn = L. 8. Lưu ý

a) Dãy số tăng và bị chặn trên thì có …