Tài liệu tự học giới hạn của hàm số - Nguyễn Trọng

Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !

Page1

CHƯƠNG 4 GIỚI HẠN

BÀI 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Định nghĩa 1 (Giới hạn của hàm số tại một điểm).

Giả sử ( ) ; a b là một khoảng chứa điểm 0x và f là một hàm số xác định trên tập hợp

( )  0 ; \ a b x . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dần đến 0x (hoặc tại điểm 0x ) nếu

với mọi dãy số ( ) nx trong tập hợp ( )  0 ; \ a b x mà 0 lim nx x = ta đều có ( ) lim n f x L = .

Khi đó ta viết ( )

0 lim x x f x L → = hoặc ( ) f x L → khi 0 x x → .

Định nghĩa 2 (Giới hạn của hàm số tại vô cực).

Giả sử hàm số f xác định trên khoảng ( ) ; a +. Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực

L khi x dần tới + nếu với mọi dãy số ( ) nx trong khoảng ( ) ; a + mà lim nx = + ta đều có

( ) lim n f x L = .

Khi đó ta viết ( ) lim x f x L →+ = hoặc ( ) f x L → khi x →+.

GIỚI HẠN HỮA HẠN GIỚI HẠN VÔ CỰC

Giới hạn đặc biệt

1)

0

0 lim x x x x → = .

2)

0 lim x x c c → = ( ) c .

Giới hạn đặc biệt

1) lim k

x x →+ = +. 2) lim 0 x k c x → = .

3)

0

1 lim x x − → = −. 4)

0

1 lim x x + → = +.

5) ( ) khi 2 0 li

khi 2 m x

k k k

k x →−

+  = −  



 



Định lí

Nếu ( )

0 lim x x f x L → = và ( )

0 lim x x g x M → = thì

1) ( ) ( )

0 lim x x f x g x L M →  =      .

2) ( ) ( )

0 lim . . x x f x g x L M → =     .

3) ( ) ( ) 0 lim x x

f x L g x M → = với 0 M  .

Nếu ( ) 0 f x  và ( )

0 lim x x f x L → = thì

( )

0 lim x x f x L → = và ( )

0 lim x x f x L → = .

Định lí 1

Nếu ( )

0 lim 0 x x f x L → =  và ( )

0 lim x x f x → =  thì

( ) ( )

( )

( )

0

0

0

khi .lim 0 lim .

khi .lim 0

x x

x x

x x

L g x f x g x

L g x

→

→

→

+   =      −  

.

Nếu ( )

0 lim 0 x x g x → = thì

( ) ( )

( ) ( ) 0

khi . 0 lim

khi . 0 x x

L g x f x g x L g x →

+   = −  

.

Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !

Page2

Giới hạn một bên

( ) ( ) ( )

0 0 0 lim l i i l m m x x x x x x f x f x L f x L

+ − → → →  = = = .

B. DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP

Dạng 1. Tính giới hạn vô định dạng 0

0

, trong đó tử thức và mẫu thức là các đa thức.

Phương pháp giải:

Khử dạng vô định bằng cách phân tích thành tích bằng cách chia Hooc – nơ (đầu rơi, nhân tới, cộng chéo), rồi sau đó đơn giản biểu thức để khử dạng vô định.

 VÍ DỤ

Ví dụ 1. Tính giới hạn

2

2 2

2 3 14 lim 4 x

x x A x →

+ − = − . Đs: 11

4 A = .

Lời giải

Ta có

2

2 2 2 2

7 2(x 2)(x ) 2 3 14 2 7 11 2 lim lim lim 4 (x 2)(x 2) 2 4 x x x x x x A x x → → →

− + + − + = = = = − − + +

! Cần nhớ: ( )( ) 2

1 2 ( ) a f x x bx c a x x x x = + + = − − với 1 2 , x x là 2 nghiệm của phương trình

( ) 0 f x = . Học sinh thường quên nhân thêm a .

Ví dụ 2. Tính giới hạn

3 2

3 2 2

2 5 2 3 lim 4 13 4 3 x

x x x A x x x →

− − − = − + − . Đs: 11 17 A = .

Lời giải

( )( ) ( )( )

2 3 2 2

3 2 2 2 3 3 3 3 2 1 2 5 2 3 2 1 11 lim lim lim 4 13 4 3 4 1 17 3 4 1 x x x x x x x x x x x A x x x x x x x x → → → − + + − − − + + = = = = − + − − + − − +

Nhận xét: Bảng chia Hooc – nơ (đầu rơi, nhân tới cộng chéo) như sau:

Phân tích 3 2 2 5 2 3 x x x − − −thành tích số:

( )( ) 3 2 2 2 5 2 3 3 2 1 x x x x x x  − − − = − + +

Phân tích 3 2 4 13 4 3 x x x − + −thành tích số: