Các bài toán về giới hạn trong đề thi Olympic Toán 11

LỜI GIỚI THIỆU

Kính chào Quý Thầy Cô cùng các bạn học sinh thân mến!

Trong quá trình ôn tập đểchuẩn bịcho những kì thi học sinh giỏi, em cùng với Đội tuyển Toán 11 Trường THPT Nguyễn Đình Chiểu - Tiền Giang đã vô cùng thích thú với Chuyên đề“Giới hạn”. Nhằm đểcủng cốkiến thức, qua sưu tầm, tìm tòi và học hỏi, chúng em đã tổng hợp được một sốdạng toán trong các đềthi Olympic tháng 4, Kì thi tuyển chọn học sinh giỏi, ... và phát triển thêm một sốbài tập hay và khó. Chúng em hy vọng tài liệu nhỏnày có thểgiúp Quý Thầy Cô và các bạn học sinh tham khảo, mởrộng thêm nhiều dạng bài tập mới, cũng như sẽgiúp ích cho các bạn học sinh, các anh chịôn tập đểchuẩn bịcho những kì thi sắp tới!

Khi tổng hợp và biên soạn, chúng em xin chân thành cảm ơn đến Thầy Nguyễn Minh Thành đã góp ý vềmặt ý tưởng cũng như hỗtrợvềmặt công nghệthông tin đểgiúp chúng em hoàn thiện tài liệu này. Ngoài ra, xin gửi lời cảm ơn đến những bạn sau:

1 Bạn Tăng Phồn Thịnh, Lớp 11A1, Niên khóa 2019 – 2022.

2 Bạn Huỳnh Trần Nhật Quang, Lớp 11T1, Niên khóa 2019 – 2022.

3 Bạn Nguyễn Phạm Nhật Minh, Lớp 11T2, Niên khóa 2019 – 2022.

4 Bạn Lý Nguyễn, Lớp 11T2, Niên khóa 2019 – 2022.

5 Bạn Nguyễn Đức Lộc, Lớp 11T1, Niên khóa 2019 – 2022.

6 Bạn Nguyễn Minh Khoa, Lớp 11A2, Niên khóa 2019 – 2022.

Cùng các bạn là thành viên của Đội tuyển Toán 11 Trường THPT Nguyễn Đình Chiểu - Tiền Giang đã cùng tham gia, đóng góp đểtài liệu thêm hoàn thiện và chỉnh chu hơn.

Đây là dựán ebook đầu tiên của chúng em, dù đã cốgắng nhưng vẫn không thểtránh những sai sót, chúng em rất mong nhận được những phản hồi, góp ý từQuý Thầy Cô và các bạn học sinh.

Kính chúc Quý Thầy Cô và các bạn học một năm mới thành công và hạnh phúc. Đặc biệt, chúc các bạn trong Đội tuyển Toán 11 Trường THPT Nguyễn Đình Chiểu - Tiền Giang đạt kết quảthật cao trong những kỳthi sắp tới. Em xin trân trọng kính chào!

MỹTho, ngày 18 tháng 02 năm 2021 Nguyễn ThịAnh Thư, Lớp 11T3, Niên khóa 2019 – 2022

Đội tuyển Toán 11 Trường THPT Nguyễn Đình Chiểu - Tiền Giang Niên khóa: 2019 - 2022

CÁC BÀI TOÁN GIỚI HẠN TRONG ĐỀTHI OLYMPIC THÁNG 4 TP.HCM

{ DẠNG 1. Bài toán giới hạn dãy sốtheo quy luật

Phương pháp giải.

✓Thu gọn un, dựa vào đó tìm limun.

✓Sửdụng định lý kẹp: “Xét 3 dãy số(un),(vn),(wn). Giảsửvới mọi n ta có vn ≤un ≤wn. Khi đó nếu limvn = limwn = L (L ∈R) thì limun = L.”

# Bài 1. Tính limun với

un = 3 1!+2!+3! + 4 2!+3!+4! +...+ n (n−2)!+(n−1)!+n!, (n ∈N,n ≥3).

(Đềthi Olympic Tháng 4 TP.HCM lần 1 Lớp 11 - Năm học 2014 - 2015)

L Lời giải

Ta có n (n−2)!+(n−1)!+n! = n (n−2)![1+n−1+n(n−1)]

= 1 (n−2)!n = n−1

n! = 1 (n−1)! −1

n!.

Suy ra un = n ∑ k=3

k (k −2)!+(k −1)!+k! = n ∑ k=3

ï 1 (k −1)! −1

k!

ò = 1

2! −1

n!.

Vậy limun = lim n ∑ k=3

k (k −2)!+(k −1)!+k! = lim Å 1

2! −1

n!

ã = 1

2. ■

# Bài 2. Tính giới hạn A = lim ï 1

1.3 + 1

2.4 + 1

3.5 +...+ 1 n(n+2)

ò .

L Lời giải

Ta có 1 n(n+2) = 1

2

Å1

n − 1 n+2

ã .

Suy ra n ∑ k=1

1 k(k +2) = n ∑ k=1

1 2

Å1

k − 1 k +2

ã = 1

2

Å1

1 −1

3 + 1

2 −1

4 + 1

3 −1

5 +...+ 1

n − 1 n+2

ã

= 1

2

Å 1+ 1

2 − 1 n+1 − 1 n+2

ã .

Vậy A = lim n ∑ k=1

1 k(k +2) = lim 1

2

Å 1+ 1

2 − 1 n+1 − 1 n+2

ã = lim Å3

4 − 1 2n+2 − 1 2n+4

ã = 3

4. ■

Nhận xét. Áp dụng tính chất 1 n(n+k) = 1

k

Å1

n − 1 n+k

ã đểgiải quyết các bài toán dạng trên.

# Bài 3. Tính giới hạn B = lim ï 1 1.2.3 + 1 2.3.4 +...+ 1 n(n+1)(n+2)

ò .

L Lời giải

Chuyên đề: Giới hạn Trang 1