Hướng dẫn giải các dạng toán giới hạn

CHƯƠNG4 GIỚI HẠN

BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

A TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Định nghĩa 1. Dãy số(un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực nếu |un| có thểnhỏhơn một sốdương bé tuỳý, kểtừmột sốhạng nào đó trởđi. Kí hiệu: lim n→+∞un = 0 hay lim un = 0.

VÍ DỤ1. lim n→+∞ 1 n2 = 0.

Định nghĩa 2. Dãy số(un) có giới hạn là a nếu |un −a| có giới hạn bằng 0. Nghĩa là: lim n→+∞un = a ⇔ lim n→+∞(un −a) = 0.

VÍ DỤ2. lim n→+∞ 2n + 1

n + 3 = 2.

2 CÁC ĐỊNH LÝ VỀGIỚI HẠN HỮU HẠN

Định lí 1.

lim 1

n = 0; lim 1

nk = 0 với k là sốnguyên dương.

lim qn = 0 nếu |q| < 1.

Định lí 2.

Nếu lim un = a và lim vn = b thì lim (un ± vn) = a ± b, lim (un.vn) = a.b, lim un

vn

= a

b (nếu

b ̸= 0).

Nếu un ≥0 với mọi n và lim un = a thì a ≥0 và lim √un = √a.

3 TỔNG CỦA CẤP SỐNHÂN LÙI VÔ HẠN

Định nghĩa 3. Cấp sốnhân vô hạn (un) có công bội q thoảmãn |q| < 1 được gọi là cấp sốnhân lùi vô hạn.

Định lí 3. Cho cấp sốnhân lùi vô hạn (un), ta có tổng của cấp sốnhân lùi vô hạn đó là

S = u1 + u2 + u3 + ... + un + ... = u1 1 −q, (|q| < 1)

367

368 CHƯƠNG 4. GIỚI HẠN

4 GIỚI HẠN VÔ CỰC

Định nghĩa 4.

Ta nói dãy số(un) có giới hạn +∞khi n →+∞, nếu un có thểlớn hơn một sốdương bất kì, kểtừmột sốhạng nào đó trởđi. Kí hiệu: lim un = +∞.

Ta nói dãy số(un) có giới hạn −∞khi n →+∞, nếu lim(−un) = +∞. Kí hiệu: lim un = −∞.

Định lí 4. a) Nếu lim un = a và lim vn = ±∞thì lim un

vn = 0.

b) Nếu lim un = a > 0, lim vn = 0 và vn > 0 với mọi n thì lim un

vn = +∞.

c) Nếu lim un = +∞và lim vn = a > 0 thì lim unvn = +∞.

B CÁC DẠNG TOÁN

{ DẠNG 1.1. Dùng định nghĩa chứng minh giới hạn

Đểchứng minh lim un = L ta chứng minh lim (un −L) = 0.

VÍ DỤ1. Chứng minh rằng

a. lim −n3

n3 + 1

= −1 b. lim n2 + 3n + 2

2n2 + n

= 1

2.

L Lời giải

a. Ta có lim −n3

n3 + 1 −(−1) = lim 1 n3 + 1

. Vì 0 ≤ 1 n3 + 1

< 1

n3, ∀n ∈N∗.

Mà lim 1

n3 = 0 nên suy ra lim 1 n3 + 1

= 0. Do đó lim −n3

n3 + 1

= −1.

b. Ta có lim n2 + 3n + 2

2n2 + n −1

2

= lim 5n + 4 2 (2n2 + n)

Vì 0 < 5n + 4 2 (2n2 + n)

< 5n + 5 2n (n + 1) = 5

2.1

n, ∀n ∈N∗. Mà lim 5

2.1

n

= 5

2. lim 1

n = 0

Nên suy ra lim 5n + 4 2 (2n2 + n) = 0. Do đó lim n2 + 3n + 2

2n2 + n

= 1

2.

□

VÍ DỤ2. Chứng minh rằng

a. lim 3.3n −sin 3n

3n

= 3 b. lim √

n2 + n −n = 1

2.

L Lời giải

1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 369

a. Ta có lim 3.3n −sin 3n

3n −3 = lim −sin 3n

3n

.

Vì 0 ≤ −sin 3n

3n

= |−sin 3n|

3n ≤1

3n = 1

3

n , ∀n ∈N∗.

Mà lim 1

3

n = 0 nên suy ra lim −sin 3n

3n

= 0. Do đó lim 3.3n −sin 3n

3n

= 3.

b. Ta có lim √

n2 + n −n −1

2

= lim 2 √

n2 + n −(2n + 1)

2 = lim −1

2 2 √

n2 + n + (2n + 1)

Vì 0 ≤

−1

2 2 √

n2 + n + (2n + 1)

≤ 1

2 2 √

n2 + n + (2n + 1) ≤ 1

2 2 √

n2 + 2n

= 1 8.1

n, ∀n ∈N∗

Mà lim 1

8.1

n = 1

8 lim 1

n = 0 nên suy ra lim −1

2 2 √

n2 + n + (2n + 1) = 0.

Do đó lim √

n2 + n −n = 1

2.

□

BÀI TẬP TỰLUYỆN

BÀI 1. Chứng minh rằng

a. lim 2n2 + n

n2 + 4 = 2

b. lim 6n + 2

n + 5 = 6

c. lim 7n −2.8n

8n + 3n = −2

d. lim 2.3n + 5n

5n + 3n = 1.

Lời giải.

a. Ta có lim 2n2 + n

n2 + 4 −2 = lim n −8

n2 + 4. Vì 0 ≤ n −8 n2 + 4

≤n

n2 = 1

n.

Mà lim 1

n = 0 nên suy ra lim 2n2 + n

n2 + 4 −2 = 0. Do đó lim 2n2 + n

n2 + 4 = 2.

b. Ta có lim 6n + 2

n + 5 −6 = lim −28

n + 5

Vì −28 n + 5

< 28

n . Mà lim 28

n = 0 nên lim 6n + 2

n + 5 −6 = 0. Do đó lim 6n + 2

n + 5 = 6.

c. Ta có lim 7n −2.8n

8n + 3n + 2 = lim 7n + 2.3n

8n + 3n

Vì 0 < 7n + 2.3n

8n + 3n

< 7n + 2.3n

8n + 3n < 3.7n

8n = 3 7

8

n .

Mà lim 3 7

8

n = 0 nên lim 7n −2.8n

8n + 3n + 2 = 0. Do đó lim 7n −2.8n

8n + 3n = −2.