Phân loại và phương pháp giải bài tập giới hạn

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 279

CHƯƠNG 4. GIỚI HẠN

BÀI 1. GIỚI HẠN DÃY SỐ

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I – GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

1. Định nghĩa

Định nghĩa 1

Ta nói dãy số ( ) nu có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu nu có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: lim 0 n n u +¥ = hay 0 n u  khi . n +¥

Định nghĩa 2

Ta nói dãy số ( ) nv có giới hạn là a (hay nv dần tới a) khi , n +¥ nếu ( ) lim 0. n n v a +¥ - =

Kí hiệu: lim n n v a +¥ = hay nv a  khi . n +¥

2. Một vài giới hạn đặc biệt

a) 1 lim 0; n n +¥ = 1 lim 0 k n n +¥ = với k nguyên dương;

b) lim 0 n

n q +¥ = nếu 1; q <

c) Nếu nu c = ( c là hằng số) thì lim lim . n n n u c c +¥ +¥ = =

Chú ý: Từ nay về sau thay cho lim n n u a +¥ = ta viết tắt là lim nu a = .

II – ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN

Định lí 1

a) Nếu lim nu a = và lim nv b = thì

( ) lim n n u v a b · + = + ( ) lim n n u v a b · - = -

( ) lim . . n n u v a b · = lim n

n

u a v b

æ ö÷ ç ÷ · = ç ÷ ç ÷ çè ø (nếu 0 b ¹ ).

b) Nếu lim

0,

n

n

u a

u n

ì = ïïíï ³ " ïî thì lim . 0

nu a

a

ìï = ïíï ³ ïî

III – TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

Cấp số nhân vô hạn ( ) nu có công bội q , với 1 q < được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 280

( ) 1 2 3 1 1 . 1 n S u u u u u q q = + + + + = - ¼ < ¼ +

IV – GIỚI HẠN VÔ CỰC

1. Định nghĩa

· Ta nói dãy số ( ) nu có giới hạn là +¥ khi n +¥ , nếu nu có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: lim nu = +¥ hay nu +¥ khi . n +¥

· Dãy số ( ) nu có giới hạn là -¥ khi n +¥ , nếu ( ) lim n u - = +¥ .

Kí hiệu: lim nu =-¥ hay nu -¥ khi . n +¥

Nhận xét: ( ) lim . n n u u = +¥  - = -¥

2. Một vài giới hạn đặc biệt

Ta thừa nhận các kết quả sau

a) lim k n = +¥ với k nguyên dương;

b) lim n q = +¥ nếu 1 q > .

3. Định lí 2

a) Nếu lim nu a = và lim nv = ¥ thì lim 0 n

n

u v = .

b) Nếu lim 0 nu a = > , lim 0 nv = và 0, 0 nv n > " > thì lim . n

n

u v = +¥

c) Nếu lim nu = +¥ và lim 0 nv a = > thì . lim . n n u v +¥ =

B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1. Sử dụng nguyên lý kẹp

1. Phương pháp

2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng

Ví dụ 1 : Cho hai dãy số ( ) nu và ( ) nv có ( )

2 1

1

n

nu n

- = + và 2 1 . 2 nv n = + Khi đó ( ) lim n n u v + có giá trị bằng:

A. 3. B. 0. C. 2. D. 1.

Lời giải

Chọn B

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 281

Ta có ( )

2

2

0 lim lim 0 li

1 1 0 1 1 . 0 m

2

0 1 0

n n

n

n n

n

u n u

n

u v

n

v n

v

ìïïïïï ¾¾ = = ¾ £ £ £  +

£ £ £ ¾ + = íïïïïî  ï +

Ví dụ 2: Kết quả của giới hạn sin 5 lim 2 3 n n

æ ö÷ ç - ÷ ç ÷ çè ø bằng:

A. 2. - B. 3. C. 0. D. 5. 3

Lời giải

Chọn A

Ta có sin5 1 , 0 3 n n n £ £ mà 1 lim 0 n = nên sin5 lim 0, 3 n n = do đó sin5 lim 2 2. 3 n n

æ ö÷ ç - =- ÷ ç ÷ çè ø

Nhận xét : Có thể dùng MTCT để tính (có thể chính xác hoặc gần đúng) giới hạn như sau (các bài sau có thể làm tương tự) :

Nhập ( ) sin 5 2. 3

X

X -

Bấm CALC và nhập 9999999999 (một số dòng MTCT khi bấm nhiều số « 9 » thì nó báo lỗi, khi đó ta cần bấm ít số « 9 » hơn.

Bấm « = » ta được kết quả (có thể gần đúng), sau đó chọn đáp án có giá trị gần đúng với kết quả hiện trên MTCT.

Ví dụ 3 : Kết quả của giới hạn 3sin 4 cos lim 1 n n n + + bằng:

A. 1. B. 0. C. 2. D. 3.

Lời giải

Chọn B

Ta có 3sin 4cos 7 7 0 1 1 3sin 4cos 0 lim 0. 1 n n n n n n n n + £ £ £  + ¾ + ¾ = + +

3. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Giá trị của giới hạn ( ) 1 lim 4 1

n

n

æ ö - ÷ ç ÷ ç + ÷ ç ÷ ç ÷ + ÷ çè ø bằng:

A. 1. B. 3. C. 4. D. 2.

Lời giải

Chọn C

Ta có ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 0 1 0 li lim m 4 4 0 1 1 1 . 1

n n n

n n n n n

- - £ £ £  ¾¾ = ¾ æ ö - ÷ ç ÷ ç + = ÷ ç ÷ ç ÷ + ÷ çè ø ¾ + + +

Câu 2: Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn k để

1 2 cos 1 lim . 2 2

k n n n n

- =