Bài giảng giới hạn của dãy số

BÀI GIẢNG GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A. LÝ THUYẾT I. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN 0 .

1. Định nghĩa

Ta nói rằng dãy số ( ) nu có giới hạn 0 ( hay có giới hạn là 0 ) nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho

trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó. Kí hiệu: lim 0 nu = .

Nói một cách ngắn gọn, lim 0 nu = nếu nu có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng

nào đó trở đi. Từ định nghĩa suy ra rằng:

a) lim 0 lim 0 n n u u =  = .

b) Dãy số không đổi ( ) nu , với 0 nu = , có giới hạn là 0 .

c) Dãy số ( ) nu có giới hạn là 0 nếu nu có thể gần 0 bao nhiêu cũng được, miễn là n đủ lớn.

2. Một số dãy số có giới hạn 0 Định lí 4.1

Cho hai dãy số ( ) nu và ( ) nv .

Nếu n n u v  với mọi nvà lim 0 nv = thì lim 0 nu = .

STUDY TIP Định lí 4.1 thường được sử dụng để chứng minh một dãy số có giới hạn là 0 . Định lí 4.2

Nếu 1 q  thì lim 0 n q = .

Người ta chứng mình được rằng

a) 1 lim 0 n

= .

b)

3

1 lim 0 n

=

c) 1 lim 0 k n = với mọi số nguyên dương k cho trước.

Trường hợp đặc biệt : 1 lim 0 n = .

d)lim 0

k

n n a = với mọi * k  và mọi 1 a cho trước.

STUDY TIP Cách ghi nhớ các kết quả bên như sau: Khi tử số không đổi, mẫu số càng lớn (dần đến dương vô cực) thì phân số càng nhỏ (dần về 0 ) II. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN.

1. Định nghĩa

Ta nói rằng dãy số ( ) nu có giới hạn là số thực L nếu ( ) lim 0 nu L − = .

Kí hiệu: lim nu L = .

Dãy số có giới hạn là một số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.

STUDY TIP

a) Dãy số không đổi ( ) nu với nu c = , có giới hạn là c.

b) lim nu L = khi và chỉ khi khoảng cách nu L − trên trục số thực từ điểm nu đến L trở nên nhỏ

bao nhiêu cũng được miễn là n đủ lớn; nói một cách hình ảnh, khi n tăng thì các điểm nu “ chụm lại” quanh điểm L . c) Không phải mọi dãy số đều có giới hạn hữu hạn. 2. Một số định lí Định lí 4.3

Giả sử lim nu L = . Khi đó

a)lim nu L = và 3 3 lim nu L = .

b) Nếu 0 nu  với mọi n thì 0 L  và lim nu L = .

Định lí 4.4

Giả sử lim nu L = ,lim nv M = và clà một hằng số. Khi đó

a) ( ) lim n n u v L M + = + . b) ( ) lim n n u v L M − = − .

c) ( ) lim n n u v LM = . D) ( ) lim n cu cL = .

e)lim n

n

u L v M = (nếu 0 M  ).

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Định nghĩa

Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân có công bội q thỏa 1 q .

Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

2 1 1 1 1 ... 1

u S u u q u q q = + + + = −

III. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC.

1. Dãy số có giới hạn +

Ta nói rằng dãy số ( ) nu có giới hạn + nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của

dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó. Kí hiệu: lim nu = +.

Nói một cách ngắn gọn, lim nu = +nếu nu có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Người ta chứng minh được rằng:

a) lim nu = +.

b) 3 lim nu = +

c)lim k n = +với một số nguyên dương k cho trước. Trường hợp đặc biệt : limn = +.

d)lim n q = + nếu 1 q .

2. Dãy số có giới hạn −

Ta nói rằng dãy số ( ) nu có giới hạn − nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy

số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó. Kí hiệu: lim nu = −.