Bài giảng giới hạn của hàm số

BÀI GIẢNG GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

A. LÝ THUYẾT

I. ĐỊNH NGHĨA GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

1. Giới hạn hữu hạn tại một điểm.

Định nghĩa 1:

Cho ( ) ;a b là một khoảng chứa điểm 0x và hàm số ( ) y f x = xác định trên ( ) ;a b hoặc trên

( )  ( )

0 0 ; \ . lim

x x a b x f x L → = với mọi dãy số  nx mà ( )  0 0 ; \ , n n x a b x x x  → ta có ( ) lim . n f x L =

Nhận xét:

- Giới hạn của hàm số được định nghĩa thông qua khái niệm giới hạn của dãy số.

- Hàm số không nhất thiết phải xác định tại 0x .

Định nghĩa 2 (Giới hạn một bên):

Cho hàm số ( ) y f x = xác định trên khoảng ( ) ( )

0 0; . lim

x x x b f x L + → =  với mọi dãy số  nx mà

0 0 , n n x x b x x   → ta có ( ) lim . n f x L =

Cho hàm số ( ) y f x = xác định trên khoảng ( ) ( )

0 0 ; . lim

x x a x f x L − → = với mọi dãy số  nx mà

0 0 , n n a x x x x   → ta có ( ) lim . n f x L =

STUDY TIP

0 x x+ → nghĩa là 0 x x → và 0. x x 

0 x x− → nghĩa là 0 x x → và 0. x x 

Định lí 1

( ) ( ) ( )

0 0 0 lim lim lim . x x x x x x f x L f x f x L − + → → → =  = =

2. Giới hạn vô cực tại một điểm.

Định nghĩa 3

Cho ( ) ;a b là một khoảng chứa điểm 0x và hàm số ( ) y f x = xác định trên ( ) ;a b hoặc trên

( )  ( )

0 0 ; \ . lim

x x a b x f x → = + với mọi dãy số  nx mà ( )  0 0 ; \ , n n x a b x x x  → ta có ( ) . n f x = +

Lưu ý:

Các định nghĩa ( ) ( ) ( ) ( )

0 0 0 0 lim ; lim ; lim ; lim ; x x x x x x x x f x f x f x f x + + − → → → → = − = + = − = + ( )

0 lim x x f x

− → = −được

phát biểu hoàn toàn tương tự.

3. Lưu ý:

a) ( ) f x không nhất thiết phải xác định tại điểm 0x .

b) Ta chỉ xét giới hạn của ( ) f x tại điểm 0x nếu có một khoảng ( ) ;a b (dù nhỏ) chứa 0x mà ( ) f x xác

định trên ( ) ;a b hoặc trên ( )  0 ; \ . a b x

Chẳng hạn, hàm số ( ) f x x = có tập xác định là  ) 0; D = +. Do đó ta không xét giới hạn của hàm số

tại điểm 0 0 x = , do không có một khoảng ( ) ;a b nào chứa điểm 0 mà ( ) f x xác định trên đó cả. Tương

tự vậy ta cũng không xét giới hạn của ( ) f x tại mọi điểm 0 0. x 

c) Ta chỉ xét giới hạn bên phải của ( ) f x tại điểm 0x nếu có một khoảng ( ) 0; x b (khoảng nằm bên phải

0x ) mà ( ) f x xác định trên đó.

Tương tự, ta chỉ xét giới hạn bên trái của ( ) f x tại điểm 0x nếu có một khoảng ( ) 0 ;a x (khoảng nằm bên

trái 0x ) mà ( ) f x xác định trên đó.

Chẳng hạn, với hàm số ( ) 1 f x x = −, tại điểm 0 1 x = , ta chỉ xét giới hạn bên phải. Với hàm số

( ) 1 g x x = − , tại điểm 0 1 x = , ta chỉ xét giới hạn bên trái.

d) lim ( ) lim ( ) lim ( )

o o o x x x x x x f x f x f x − + → → → = + = = +

lim ( ) lim ( ) lim ( )

o o o x x x x x x f x f x f x − + → → → = − = = −

II. ĐỊNH NGHĨA GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC

1. Giới hạn hữu hạn tại vô cực.

Định nghĩa 4

Cho hàm số ( ) y f x = xác định trên khoảng ( ) ; . lim ( ) x a f x L →+ + =  với mọi dãy số ( ) nx

, nx a  và nx →+ ta đều có lim ( ) f x L = .

LƯU Ý: Định nghĩa lim ( ) x f x L →− = được phát biểu hoàn toàn tương tự.

2. Giới hạn vô cực tại vô cực.

Định nghĩa 5

Cho hàm số ( ) y f x = xác định trên khoảng ( ) ; . lim ( ) x a f x →+ + = + với mọi dãy số

( ) nx , nx a  và nx →+ ta đều có lim ( ) f x = +.

LƯU Ý: Các định nghĩa: lim ( ) , lim ( ) , lim ( ) x x x f x f x f x →− →+ →− = + = − = − được phát biểu hoàn toàn tương

tự.

III. MỘT SỐ GIỚI HẠN ĐẶC BIỆT

a) lim

o o x x x x → = .

b) lim ; lim

o x x x c c c c → → = = ( c là hằng số )

c) lim 0 k x

c x → = (c là hằng số, k nguyên dương ).