Tài liệu chủ đề giới hạn dãy số

CHỦ ĐỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ

I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1. Dãy số có giới hạn hữu hạn

a. Giới hạn hữu hạn

 lim 0 n n u u   có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

 Dãy số   n u có giới hạn là L nếu:   lim lim 0 n n u L u L    

Chú ý: Ta có thể viết gọn: lim 0, n u  lim . n u L 

b. Giới hạn đặc biệt

1 lim 0 n  lim , C C C    lim n q  nếu 1 q 

1 lim 0 n

 lim 0 n q  nếu 1 q  * lim , kn k  

3

1 lim 0 n

 * 1 lim 0, k k n  

c. Định lí về giới hạn

 Định lí 1: Nếu hai dãy số   n u và   nv cùng có giới hạn thì ta có:

+)   lim lim lim n n n n u v u v    +)   lim . lim .lim n n n n u v u v 

+) lim lim lim

n n

n n

u u v v  (Nếu lim 0 nv  ) +)     lim . .lim , n n k u k u k  

+) lim lim n n u u 

+) 2 2 lim lim k k n n u u  (nếu 0 n u  ) (căn bậc chẵn)

+) 2 1 2 1 lim lim k k n n u u    (căn bậc lẻ) +) Nếu n n u v  và lim 0 nv  thì lim 0. n u 

 Định lí 2: (Nguyên lí kẹp) Cho ba dãy số     , , n n n u v w và . L

Nếu * , n n n u v w    và lim lim n n u w L   thì   nv có giới hạn và lim . nv L 

 Định lí 3: Nếu lim n u a  và lim nv  thì lim 0. n

n

u v 

 Định lí 4: Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn.

Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn.

Chú ý: 1 lim 1 2,718281828459...,

n e n         

là một số vô tỉ.

d. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Một cấp số nhân có công bội q với 1 q  được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Ta có tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: 2 1 1 1 ... 1

u S u u q u q q      (với 1 q )

2. Dãy số có giới hạn vô cực

a. Định nghĩa

 lim n n n u u   có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

 lim n n n u u   có thể nhỏ hơn một số âm nhỏ tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

   lim lim n n n n u u     

Chú ý: Ta có thể viết gọn:   lim . n u 

b. Định lí

 lim n u  thì 1 lim 0

n u 

 Nếu   1 lim 0, 0, lim n n

n u u n u      

c. Một vài qui tắc tìm giới hạn

Quy tắc 1:

Nếu lim n u  và

lim nv , thì   lim . n n u v

là:

Quy tắc 2:

Nếu lim n u  và

lim 0, nv L   thì   lim . n n u v

là:

Quy tắc 3:

Nếu lim n u L  và lim 0 nv 

và 0 nv  hoặc 0 nv  kể từ

một số hạng nào đó trở đi thì:

lim n u lim nv   lim . n n u v

























L

Dấu

của nv

lim n

n

u v

+

+





+



+











lim nu Dấu

của L   lim . n n u v









+



+











Trang 3

II. PHÂN DẠNG TOÁN VÀ HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA

 Dạng 1. Dãy số có giới hạn 0

Phương pháp giải

 Dãy   n u có giới hạn 0 nếu mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số

hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó.

Khi đó ta viết:   lim 0 n u  hoặc lim 0 n u  hoặc 0. n u 

* 0 0 lim 0 0, : n n u n n n u          

 Một số kết quả: (xem phần tóm tắt lý thuyết)

Chú ý: Sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh, đánh giá biểu thức lượng giá, nhân liên hợp của

căn thức, …

Ví dụ 1. Chứng minh rằng các dãy sau có giới hạn 0

a)    1 1 2 n u n n    b)  

1

3 1 sin 2 2 1

n

n

n u n

   

Lời giải:

a)   

2

2

2

1 1 1 0 lim lim lim lim 0. 3 2 1 2 3 2 1 3.0 2.0 1

n n u n n n n

n n

            

Vậy lim 0. nu 

b)     1 1

3

3 3 3 3

3

1 1 sin 2 1 sin 2 1 1 0 0 0 lim lim lim 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 2

n n n n n n n n n

n

                 

 

1

3 1 sin 2 lim 0 2 1

n n n

     (Nguyên lý kẹp).

Suy ra  

1

3 1 sin 2 lim 0 lim 0. 2 1

n

n n u n

      Vậy lim 0. n u 

Ví dụ 2. Tính giới hạn của các dãy số sau

a) 1 5 2 n n u   b) 5 cos3 6 2 2.7

n n

n n n n u   

Lời giải:

a)

1 1 0 5 lim lim lim 0. 5 2 1 2.0 1 1 2. 5

n

n n n u

                  

Vậy lim 0. n u 