Tài liệu chủ đề giới hạn hàm số

Trang 1

CHỦ ĐỀ GIỚI HẠN HÀM SỐ

I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1) Giới hạn của hàm số tại một điểm

a) Giới hạn hữu hạn

Cho hàm số  f x xác định trên khoảng   ;a b , có thể trừ điểm   0 ; x a b  . Nếu với mọi dãy số   nx mà

  0 0 ; \ ; lim n n x a b x x x   ta đều có   lim n f x L  thì ta nói hàm số  f x có giới hạn là số L khi x

dần đến 0x . Khi đó ta kí hiệu 

0 lim x x f x L   hoặc  f x L  khi 0 x x  .

b) Giới hạn vô cực

Tương tự như các điều đã nêu trong phần a, nếu L là  thì ta nói  f x có giới hạn vô cực khi 0 x x 

và kí hiệu 

0 lim x x f x   hay  f x  khi 0 x x  .

2) Giới hạn của hàm số tại vô cực

Cho hàm số  f x xác định trong khoảng   ;a . Khi đó nếu với mọi dãy số   nx với

, lim n n x a n x   ta đều có

  lim n f x L  (hoặc , ) ta nói hàm số  f x có giới hạn là L (hoặc , ) khi x dần tới vô cực.

Khi đó viết lim

x L  (hay ) hoặc  f x L  (hay )

Khi x  hàm số  f x trong   ; b  , với mọi dãy   nx mà lim n n x b x   ta đều có

  lim n f x L  (hay ) thì ta có  lim x f x L   (hay ) hoặc  f x L  (hay ) khi x 

Một số giới hạn của hàm số tại vô cực

* 1 1 lim 0, lim 0 x x x x    

* lim k

x x   (với ); lim k

x x   nếu k chẵn và  nếu k lẻ.

*   1 1 lim lim * k k x x k x x    

3) Một số định lí về giới hạn hữu hạn

Định lí: Nếu  

0 0 lim , lim x x x x f x L g x M     , c là hằng số thì

*  

0 lim x x f x g x L M        

*  

0 lim . . x x f x g x L M       và 

0 lim . . x x c f x c L   (c là hằng số)

* Nếu 0 M  thì   0 lim x x

f x L g x M  

Trang 2

* 

0 lim x x f x L  

* 

0

3 3 lim x x f x L  

* 

0 lim x x f x L   với 0 L 

II. PHÂN DẠNG TOÁN VÀ HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA

Dạng 1. Sử dụng định nghĩa giới hạn dãy số và những quy tắc cơ bản

Phương pháp giải:

* Theo định nghĩa thì giới hạn hàm số  f x trên cơ sở giới hạn các dãy   n f x .

Nếu có 2 dãy nx và nx cùng tiến đến 0x mà     lim lim n n f x f x    thì không tồn tại 

0 lim x x f x 

* Với mọi số nguyên dương k, ta có: 2 2 1 1 lim ; lim , lim , lim 0 k k k

k x x x x x x x x



       

* Xác định dấu  hoặc  dựa trên dấu của tích số, thương số, 0 0 , , x x x x x     

Ví dụ 1. Tính giới hạn của các hàm số

a)  2 10 f x x   khi 3 x  b)  2 2 3 6 x f x x

   khi 3 x 

Lời giải:

a) Tập xác định của hàm số là   5;  . Chọn dãy số   nx với   5; nx   sao cho lim 3 nx .

Theo định nghĩa

3 lim 2 10 lim 2 10 n x n x x     

Theo định lí về giới hạn của dãy số, ta có

  2.lim 10 2. 3 10 4 2 n n x         . Vậy

3 lim 2 10 2 x x   

b) Tập xác định của hàm số là nên chọn dãy số   nx sao cho

Ta có 2 2 2 3 3

lim(2 3) 2 3 2 3 lim ( ) lim lim 3 6 6 lim( 6)

n n n

x x n n n n

x x x f x x x



  



        

2 2 2.lim 3 2.3 3 3 5 lim 6 3 6

n n

n n

x

x





       . Vậy 2 3

2 3 3 lim 5 6 x

x x 

  

Chú ý: Nếu hàm số  f x là một đa thức, là một phân thức đại số hoặc một hàm số lượng giác có tập xác

định là D thì với mỗi 0x D  ta có   

0

0 lim x x f x f x  