Tài liệu chủ đề hàm số liên tục

Trang 1

CHỦ ĐỀ HÀM SỐ LIÊN TỤC

I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1) Hàm số liên tục tại một điểm

 Giả sử hàm số f xác định trên khoảng   ;a b và   0 ; x a b  . Hàm số f được gọi là liên tục tại

điểm 0x nếu:   

0

0 lim x x f x f x  

 Hàm số không liên tục tại điểm 0x được gọi là gián đoạn tại điểm 0x và điểm 0x được gọi là

điểm gián đoạn của hàm số  f x

 Theo định nghĩa trên, hàm số  f x xác định trên khoảng   ;a b là liên tục tại điểm   0 ; x a b 

nếu và chỉ nếu 

0 lim x x f x   và 

0 lim x x f x

  tồn tại và 

0 lim x x f x   = 

0 lim x x f x   =   0 f x

2) Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn

 Hàm số  f x xác định trên khoảng   ;a b được gọi là liên tục trên khoảng đó, nếu nó liên tục tại

mọi điểm của khoảng đó.

 Hàm số  f x xác định trên đoạn   ;a b được gọi là liên tục trên đoạn đó, nếu nó liên tục trên

khoảng   ;a b và   lim x a f x f a    ,   lim x b f x f b    (liên tục bên phải tại a và bên trái tại b )

Chú ý:

- Đồ thị của một hàm số liên tục trên một khoảng là một “đường liền” trên khoảng đó.

- Tính liên tục của một hàm số:

 Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàm số liên tục tại

điểm đó (giá trị của mẫu tại điểm đó phải khác 0)

 Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên tập xác định của chúng.

 Các hàm sin y x  , cos y x  , tan y x  , cot y x  liên tục trên tập xác định của chúng.

3) Tính chất của hàm số liên tục

 Định lí: (Định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục)

Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn   ;a b . Nếu   f a f b  thì với mỗi số thực M nằm giữa  f a

và  f b , tồn tại ít nhất một điểm   ; c a b  sao cho  f c M  .

 Hệ quả 1: Nếu hàm f liên tục trên   ;a b và   . 0 f a f b  thì tồn tại ít nhất một điểm

  ; c a b  sao cho  0 f c  .

 Hệ quả 2: Nếu hàm f liên tục trên   ;a b và  0 f x  vô nghiệm trên   ;a b thì hàm số f có dấu

không đổi trên   ;a b .

Trang 2

II. PHÂN DẠNG TOÁN VÀ HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA

 Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

Để xét sự liên tục của hàm số  y f x  tại điểm tại 0x ta thực hiện các bước :

 Bước 1 : Tính   0 f x

 Bước 2 : Tính 

0 lim x x f x  (trong nhiều trường hợp để tính 

0 lim x x f x  ta cần tính 

0 lim x x f x   và



0 lim x x f x

 

 Bước 3 : So sánh 

0 lim x x f x  và   0 f x rồi rút ra kết luận.

Chú ý : hàm số không liên tục tại 0x thì được gọi là gián đoạn tại 0x

Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra :

a) 

3 1 1 1 1

x khi x f x x

khi x

         

(tại 1 x ) b) 

3 2 1 1 1 1 4

x khi x x f x

khi x

      

  

(tại 1 x )

Lời giải:

 a Ta có:   1 3 1 1 1 1 f     

   1 1

3 lim lim 1 1 1 x x

x f x f x  

      hàm số liên tục tại 1 x 

 b Ta có :  1 1 4 f  .

    

  

  

 1 1 1 1

3 2 3 2 3 2 1 lim lim lim lim 1 1 3 2 1 3 2 x x x x

x x x f x f x x x x    

               

Vậy hàm số liên tục tại 1 x .

Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:

a) 

2 3

2 2 7 5 2 3 2 1 2

x x x khi x f x x x

khi x

           

(tại 2 x  ) b) 

 

2

5 5 2 1 3

5 3 5

x khi x x f x

x khi x

     

    

(tại 5 x  )

Lời giải:

 a Ta có:  2 1 f 

Mà          

2 2 3 2

2 2 2 2 2 2 3 1 2 7 5 3 1 lim lim lim lim 1 2 3 2 2 1 1 x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x                       

Vậy hàm số liên tục tại 2 x 