Bài giảng giới hạn dãy số

Trang 1

GIỚI HẠN

BÀI GIẢNG GIỚI HẠN DÃY SỐ

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Hiểu được khái niệm giới hạn của dãy số.

+ Biết được một số định lí giới hạn của dãy số, cấp số nhân lùi vô hạn.

 Kĩ năng

+ Áp dụng khái niệm giới hạn dãy số, định lí về giới hạn của dãy số vào giải các bài tập.

+ Biết cách tính giới hạn của dãy số.

+ Biết cách tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn.

TOANMATH.com Trang 2

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Định nghĩa dãy số có giới hạn 9

1.1. Định nghĩa: Ta có nói rằng dãy số   n u có giới

hạn 0 (hay có giới hạn là 0) nếu với mỗi số dương

nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ

một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối

nhỏ hơn số dương đó.

Khi đó ta viết: lim 0 nu  hoặc 0. nu 

(Kí hiệu “ lim 0 n n u   ”, đọc là dãy số   n u có giới

hạn là 0 khi n dần đến vô cực).

Nhận xét:

a) Dãy số   n u có giới hạn 0 khi và chỉ khi dãy số

  n u có giới hạn 0.

b) Dãy số không đổi   n u , với 0 nu  có giới hạn

0.

1.2. Một số dãy số có giới hạn 0 thường gặp

Dựa vào định nghĩa, người ta chứng minh được rằng:

a) 1 lim 0; n 

b) 1 lim 0; n 

c) 3 1 lim 0; n 

d) Dãy số không đổi   n u với 0 n u  có giới hạn 0.

e) Nếu 1 q  thì lim 0. n q 

Định lí sau đây thường được sử dụng để chứng minh

một số dãy số có giới hạn 0.

Cho hai dãy số   n u và   nv .

Nếu n n u v  với mọi n và lim 0 nv  thì lim 0. n u 

2. Dãy số có giới hạn hữu hạn

2.1. Định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn

Định nghĩa: Ta nói rằng dãy số   n u có giới hạn là

số thực L nếu   lim 0. n u L  

Khi đó ta viết lim nu L  hoặc . nu L 

Tức là   lim lim 0. n n u L u L    

2.2. Các định lý cơ bản về giới hạn hàm số

Định lí 1: Giả sử lim . nu L  Khi đó:

Nhận xét:

- Dãy số   nu có giới hạn là số thực L, khi và chỉ

khi khoảng cách từ điểm nu đến điểm L là n u L 

gần 0 bao nhiêu cũng được miễn là chọn n đủ

lớn. Tức là khi biểu diễn các số hạng trên trục số

ta thấy khi n tăng thì các điểm n u tụ tại quanh

điểm L.

- Có những dãy số không có giới hạn hữu hạn.

TOANMATH.com Trang 3

 lim n u L  và 3 3 n u L  .

 Nếu * 0, nu n   thì 0 L  và lim . nu L 

Định lí 2: Giả sử lim ;lim n n u L v M   và c là một

hằng số.

Khi đó

   lim . n n u v L M       lim . n n u v L M   

   lim . . . n n u v L M     lim . n cu cL 

 lim n

n

u L v M  (nếu 0 M  ).

Định lí 3 (Nguyên lí kẹp giữa): Cho ba dãy số

    , , n n n u v w và số thực L. Nếu n n n u v w   với

mọi n và lim lim n n u w L   thì lim . nv L 

Định lí 4:

 Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn.

 Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn.

2.3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Khái niệm: Cấp số nhân gọi là lùi vô hạn nếu có

công bội q thỏa mãn điều kiện 1. q 

Tổng các số hạng:

2 3 1 1 2 3 1 1 1 1 ... ... , 1 u S u u u u u q u q u q q          

  1 . q 

Chẳng hạn dãy số     1 n  , tức là dãy số:

1;1; 1;1;...  

- Nếu C là hằng số thì lim . C C 

3. Dãy số có giới hạn vô cực

3.1. Định nghĩa dãy số có giới hạn vô cực

Định nghĩa:

 Ta nói rằng dãy số   n u có giới hạn là  nếu với

mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy

số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số

dương đó.

Khi đó ta viết lim nu  hoặc . nu 

 Ta nói rằng dãy số   n u có giới hạn là  nếu với

mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số,

Nhận xét: Nếu lim nu  thì   lim . n u  

Chú ý:

 Các dãy số có giới hạn là  hoặc  được

gọi chung là các dãy số có giới hạn vô cực hay

dần đến vô cực.

 Dãy số có giới hạn là số thực L được gọi là dãy

số có giới hạn hữu hạn.

Nhận xét:

Từ định nghĩa, ta có kết quả sau:

a) limn .

b) lim . n 