Bài giảng giới hạn hàm số

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ

BÀI GIẢNG GIỚI HẠN HÀM SỐ

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm được khái niệm giới hạn của hàm số.

+ Nắm được các tính chất và các phép toán về giới hạn của hàm số.

 Kĩ năng

+ Biết cách tìm giới hạn của hàm số tại một điểm.

+ Vận dụng được các quy tắc tìm giới hạn của hàm số.

+ Thực hành khử một số hạng vô định cơ bản.

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Định nghĩa giới hạn của hàm số tại một điểm

1. Giới hạn hữu hạn tại một điểm

Định nghĩa 1

Cho khoảng   ;a b và một điểm 0x . Hàm số  y f x 

xác định trên   ;a b hoặc trên   0 ; \ a b x . Ta nói rằng

hàm số  f x có giới hạn là số thực L khi x dần đến

0x (hoặc tại điểm 0x ) nếu với mọi dãy số  nx trong

tập hợp   0 ; \ a b x mà 0 lim  nx x ta đều có

  lim n f x L  .

Khi đó ta viết 

0 lim x x f x L   hay  f x L  khi

0 x x  .

2. Giới hạn vô cực

Ta nói hàm số  y f x  có giới hạn dương vô cực khi

x dần tới 0x nếu với mọi dãy số   nx sao cho 0 nx x 

thì   n f x . Kí hiệu 

0 lim x x f x  .

Tương tự ta cũng có định nghĩa giới hạn âm vô cực



0 lim x x f x  .

3. Giới hạn hàm số tại vô cực

Định nghĩa 2

Các giới hạn đặc biệt

+)

0 lim x x C C   , với C là hằng số bất kỳ.

+)  f x là hàm số quen thuộc (đa thức, phân

thức hữu tỉ, cân lượng giác) xác định trên   ;a b

chứa 0x thì   

0 0 lim x x f x f x   .

Các giới hạn đặc biệt

TOANMATH.com Trang 2

Giả sử hàm số  y f x  xác định trên khoảng

  ;a . Ta nói rằng hàm số  f x có giới hạn là số

thực L khi x  nếu với mọi dãy số   nx :   nx a 

và nx  thì   n f x L  .

Kí hiệu:  lim x f x L   .

Các giới hạn  lim x f x L   .

Các giới hạn   lim ; lim x x f x f x     và

 lim x f x L   được định nghĩa tương tự.

4. Một số định lí về giới hạn hữu hạn

Định lí 1

Giả sử  

0 0 lim , lim x x x x f x L g x M     . Khi đó

a)  

0 lim x x f x g x L M         .

b)  

0 lim . . x x f x g x L M       .

c)    

0 lim 0 x x f x L M g x M    .

d) 

0 lim x x f x L   .

e) Nếu  

0 0, lim x x f x f x L    thì 

0 lim x x f x L   .

f) 

0

3 3 lim x x f x L   .

g) Nếu c là một hằng số thì 

0 lim x x cf x cL   .

Quy tắc 1

Cho  

0 0 lim ; lim 0 x x x x f x g x L      . Ta có:



0 lim x x f x  Dấu của L  

0 lim . x x f x g x    

  

 + 

  

Quy tắc 2

 lim ; lim 0 x x C C C x     với C là hằng số.

 lim k

x x   với k nguyên dương;

lim   k

x x với k là số nguyên dương lẻ,

lim k

x x   với k nguyên dương chẵn.

TOANMATH.com Trang 3

Cho  

0 0 lim ; lim 0; 0 x x x x f x L g x L      . Ta có:

Dấu của L Dấu của  g x   0 lim x x

f x g x 

+  

 + 

  

Giới hạn một bên

1. Giới hạn hữu hạn

Định nghĩa 1

Giả sử hàm số  f x xác định trên khoảng

   0 0 ; , x b x . Ta nói rằng hàm số  f x có giới

hạn bên phải là số thực L khi x cần đến 0x (hoặc tại

điểm 0x ) nếu với mọi dãy số   nx thuộc khoảng

  0; x b mà 0 lim nx x  ta đều có   lim n f x L  .

Khi đó ta viết 

0 lim x x f x L    hoặc  f x L  khi

0 x x  .

Định nghĩa 2

Giả sử hàm số  f x xác định trên khoảng

   0 0 ; , a x x . Ta nói rằng hàm số  f x có giới

hạn bên trái là số thực L khi x dần đến 0x (hoặc tại

điểm 0x ) nếu với mọi dãy   nx thuộc khoảng   0 ;a x

mà 0 lim nx x  ta đều có   lim n f x L  .

Khi đó ta viết 

0 lim x x f x L    hoặc  f x L  khi

0 x x  .

2. Giới hạn vô cực

a) Các định nghĩa  

0 0 lim , lim x x x x f x f x      ,



0 lim x x f x    và 

0 lim x x f x    được phát biểu

tương tự Định nghĩa 1 và định nghĩa 2.

b) Các chú ý 1 và 2 vẫn đúng nếu thay L bởi  hoặc

.

Chú ý:

a)   

0 0 0 lim lim lim x x x x x x f x L f x f x L          .

b) Các định lí về giới hạn của hàm số vẫn đúng

khi thay 0 x x  bởi 0 x x  hoặc 0 x x  .