Bài giảng hàm số liên tục

Trang 1

BÀI GIẢNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm được khái niệm hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng, trên một đoạn.

+ Nắm được các định lí cơ bản về hàm số liên tục

 Kĩ năng

+ Chứng minh được hàm số liên tục tại một điểm, liên tục trên một khoảng, liên tục trên một

đoạn

+ Nắm vững phương pháp giải dạng bài toán tìm tham số để hàm số liên tục

TOANMATH.com Trang 2

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Hàm số liên tục tại một điểm

Định nghĩa 1

Cho hàm số  y f x  xác định trên khoảng K và

0x K  . Hàm số  y f x  được gọi là liên tục tại

0x nếu   

0 0 lim x x f x f x   .

2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một

đoạn

Định nghĩa 2

Hàm số  y f x  được gọi là liên tục trên một

khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.

Hàm số  y f x  được gọi là liên tục trên đoạn

  ;a b nếu nó liên tục trên khoảng   ;a b và

    lim , lim x a x b f x f a f x f b       .

3. Một số định lí cơ bản

Định lí 1

a) Hàm đa thức liên tục trên 

b) Hàm phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên

tục trên từng khoảng xác định của chúng.

Định lí 2

Giả sử  y f x  và  y g x  là hai hàm số liên

tục tại điểm 0x .

Khi đó

a) Các hàm số     , y f x g x y f x g x    

và   . y f x g x  liên tục tại 0x ;

b) Hàm số  

f x

g x liên tục tại 0x nếu   0 0 g x 

Định lí 3

Hàm số không liên tục tại điểm 0x được gọi là gián

đoạn tại điểm 0x .

Hàm số liên tục trên khoảng   ;a b

Hàm số không liên tục trên khoảng   ;a b

Nhận xét: Đồ thị của hàm số liên tục trên một

khoảng là một “đường liên” trên khoảng đó

TOANMATH.com Trang 3

Nếu hàm số  y f x  liên tục trên đoạn

    ; . a b f a f b  thì với mỗi số thực M nằm

giữa  f a và  f b , tồn tại ít nhất một điểm

  ; c a b  sao cho  f c M 

Hệ quả

Nếu hàm số  y f x  liên tục trên đoạn   ;a b và

  . 0 f a f b  thì tồn tại ít nhất một điểm

  ; c a b  sao cho  0 f c 

Nói cách khác: Nếu hàm số  y f x  liên tục trên

đoạn   ;a b và   . 0 f a f b  thì phương trình

 0 f x  có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng

  ;a b .

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Hàm số liên tục tại một điểm, trên một tập

Phương pháp giải

Sử dụng định nghĩa hàm số  y f x  xác định

trên khoảng K và 0x K  .

Hàm số liên tục tại 0x nếu   

0 0 lim x x f x f x  

Bước 1. Tìm giới hạn của hàm số 

0 lim x x f x   và

  0 f x

Bước 2. Nếu tồn tại 

0 lim x x f x  thì ta so sánh



0 lim x x f x  với   0 f x .

Ví dụ. Cho hàm số



3

2 27 , 3 6 27 , 3 5

x khi x x x f x khi x

         

Xét tính liên tục của hàm số tại điểm 3 x 

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định trên 

Ta có  27 3 5 f  và

      

2 3

2 3 3 3 3 3 9 27 lim lim lim 3 2 6 x x x x x x x f x x x x x             

2

3 3 9 27 lim 2 5 x x x x      

Ta thấy   3 lim 3 x f x f   nên hàm số liên tục tại

3 x 

TOANMATH.com Trang 4

Hàm số liên tục trên một tập ta sử dụng định nghĩa

2 và các định lí.

Chú ý:

1. Nếu hàm số liên tục tại 0x thì trước hết hàm số

phải xác định tại điểm đó

2.   

0 0 0 lim lim lim x x x x x x f x k f x f x k         

3. Hàm số  

0

0

,

,

f x khi x x y

g x khi x x

     liên tục tại

  

0 0 0 lim x x x x f x g x    

4. Hàm số   

0

0

,

,

f x khi x x f x

g x khi x x

     liên tục tại

điểm 0 x x  khi và chỉ khi

   

0 0 0 lim lim x x x x f x g x f x      

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Cho hàm số 

  2

3 3 2 3 3

1 3

x khi x x f x

x khi x

          

. Xét tính liên tục của hàm số tại điểm 3 x 

Hướng dẫn giải

Ta có    2

3 3 lim lim 1 4 x x f x x       

3 3 3 3 2 3 3 lim lim lim 3 2 2 3 3 x x x x x

x              

Do đó   3 3 lim lim x x f x f x     

Vậy hàm số gián đoạn tại 3 x 

Ví dụ 2. Cho hàm số 

3 4 2 , 2 2 , 2

x khi x f x x a khi x

        

. Tìm a để hàm số liên tục tại …