Bài giảng giới hạn, hàm số liên tục Toán 11 Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

5

Chương GIỚI HẠN, HÀM SỐLIÊN TỤC

§1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

TÓM TẮT LÍ LUYẾT A

1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

Định nghĩa 1.1. Ta nói dãy số(un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |un| có thể nhỏhơn một sốdương bé tuỳý, kểtừmột sốhạng nào đó trởđi, kí hiệu lim n→+∞un = 0 hay

un →0 khi n →+∞.

Ví dụ1

Xét dãy sốun = 1

n2. Giải thích vì sao dãy sốnày có giới hạn là 0.

b Lời giải.

Dãy sốnày có giới hạn là 0, bởi vì |un| = 1

n2 có thểnhỏhơn một sốdương bé tuỳý khi n đủlớn.

Chẳng hạn, để|un| < 0, 0001 tức là 1

n2 < 10−4, ta cần n2 > 10000 hay n > 100. Như vậy, các số

hạng của dãy, kểtừsốhạng thứ101 đều có giá trịtuyệt đối nhỏhơn 0,0001. □ o Từđịnh nghĩa dãy sốcó giới hạn 0, ta có các kết quảsau:

Ì lim n→+∞ 1 nk = 0 với k là một sốnguyên dương;

Ì lim n→+∞qn = 0 nếu |q| < 1;

Ì Nếu |un| ≤vn với mọi n ≥1 và lim n→+∞vn = 0 thì lim n→+∞un = 0.

Định nghĩa 1.2. Ta nói dãy số(un) có giới hạn là sốthực a khi n dần tới dương vô cực nếu

lim n→+∞(un −a) = 0,

kí hiệu lim n→+∞un = a hay un →a khi n →+∞.

Ví dụ2

Xét dãy số(un) với un = 2n + 1

n . Chứng minh rằng lim n→+∞un = 2.

LÊ QUANG XE – ĐT: 0967.003.131

1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Trang 3

b Lời giải.

Ta có un −2 = 2n + 1

n −2 = (2n + 1) −2n

n = 1

n →0 khi n →+∞. Do vậy lim n→+∞un = 2. □

o Ì Nếu un = c (c là hằng số) thì lim n→+∞un = c.

Ì lim n→+∞un = a khi và chỉkhi lim n→+∞(un −a) = 0.

2. Định lí vềgiới hạn hữu hạn của dãy số

Tính chất 1.1. Các quy tắc tính giới hạn

a) Nếu lim n→+∞un = a và lim n→+∞vn = b thì

Ì lim n→+∞(un + vn) = a + b.

Ì lim n→+∞(un −vn) = a −b.

Ì lim n→+∞(un · vn) = a · b.

Ì lim n→+∞ un vn = a

b (nếu b ̸= 0).

b) Nếu un ≥0 với mọi n và lim n→+∞un = a thì a ≥0 và lim n→+∞ √un = √a.

Ví dụ3

Tìm lim n→+∞ n2 + n + 1

2n2 −1 .

b Lời giải.

Đểtính giới hạn của dãy sốdạng phân thức, ta chia cảtửthức và mẫu thức cho luỹthừa cao nhất của n, rồi áp dụng các quy tắc tính giới hạn. Áp dụng các quy tắc tính giới hạn, ta được

lim n→+∞ n2 + n + 1

2n2 −1 = lim n→+∞

1 + 1

n + 1

n2

2 −1

n2

= lim n→+∞

Å 1 + 1

n + 1

n2

ã

lim n→+∞

Å 2 −1

n2

ã = 1

2.

□ 3. Tổng của cấp sốnhân lùi vô hạn

Cấp sốnhân vô hạn (un) có công bội q với |q| < 1 được gọi là cấp sốnhân lùi vô hạn. Cho cấp số

nhân lùi vô hạn (un) với công bội q. Khi đó Sn = u1 + u2 + . . . + un = u1 1 −qn

1 −q .

Vì |q| < 1 nên qn →0 khi n →+∞. Do đó, ta có

lim n→+∞Sn = lim n→+∞

ï u1

1 −q − Å u1

1 −q

ã qn ò = u1 1 −q.

Giới hạn này được gọi là tổng của cấp sốnhân lùi vô hạn (un), và kí hiệu là S = u1 + u2 + . . . + un + . . .. Như vậy

S = u1 1 −q (|q| < 1).

LÊ QUANG XE – ĐT: 0967.003.131

Chương 5. GIỚI HẠN, HÀM SỐLIÊN TỤC 4 Trang

Ví dụ4

Tính tổng S = 1 −1

2 + 1

4 −1

8 + . . . + Å −1

2

ãn−1 + . . ..

b Lời giải.

Đây là tổng của cấp sốnhân lùi vô hạn với u1 = 1 và q = −1

2. Do đó S = u1 1 −q = 1

1 − Å −1

2

ã = 2

3.

□

Ví dụ5

Biểu diễn sốthập phân vô hạn tuần hoàn 2,222 . . . dưới dạng phân số.

b Lời giải.

Ta có 2,222 . . . = 2 + 0,2 + 0,02 + 0,002 + . . . = 2 + 2 · 10−1 + 2 · 10−2 + 2 · 10−3 + . . .. Đây là tổng của cấp sốnhân lùi vô hạn với u1 = 2, q = 10−1 nên

2,222 . . . = u1 1 −q = 2

1 −1

10

= 20

9 .

□ 4. Giới hạn vô cực của dãy số

Định nghĩa 1.3.

Ì Dãy số(un) được gọi là có giới hạn +∞khi n →+∞nếu un có thểlớn hơn một sốdương bất kì, kểtừmột sốhạng nào đó trởđi, kí hiệu lim n→+∞un = +∞hay un →+∞khi n →+∞.

Ì Dãy số(un) được gọi là có giới hạn −∞khi n →+∞nếu lim n→+∞(−un) = +∞, kí hiệu

lim n→+∞un = −∞hay un →−∞khi n →+∞.

Theo định nghĩa trên, ta có

Ì lim n→+∞nk = +∞, với k là sốnguyên dương;

Ì lim n→+∞qn = +∞, với q > 1.

Liên quan đến giới hạn vô cực của dãy số, ta có một sốquy tắc sau đây:

Ì Nếu lim n→+∞un = a và lim n→+∞vn = +∞(hoặc lim n→+∞vn = −∞) thì lim n→+∞ un vn = 0.

Ì Nếu lim n→+∞un = a > 0, lim n→+∞vn = 0 và vn > 0 với mọi n thì lim n→+∞ un vn = +∞.

Ì Nếu lim n→+∞un = +∞và lim n→+∞vn = a > 0 thì lim n→+∞unvn = +∞.

Ví dụ6

Tinh lim n→+∞ n2 −2n .

LÊ QUANG XE – ĐT: 0967.003.131