Chuyên đề giới hạn của dãy số bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THPT

1

CHUYÊN ĐỀ : GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

CAO HOÀNG HẠ GV TRƯỜNG THPT SỐ 2 AN NHƠN BÌNH ĐỊNH

Các em học sinh thân mến! Trong kỳ thi học sinh giỏi môn Toán cấp tỉnh và cấp quốc gia, bài toán tìm giới hạn của dãy số và các bài toán liên quan đến dãy số thường xuyên xuất hiện và là một trong những bài toán cơ bản của đề thi. Việc tạo cho học sinh một cách nhìn tổng quát cho bài toán tìm giới hạn của dãy số là rất quan trọng, từ đó giúp các em có tư duy rộng hơn trong việc đánh giá tính chất của một dãy số, và lựa chọn phương pháp thích hợp nhất để tìm giới hạn của một dãy số. Dĩ nhiên mỗi phương pháp có ưu thế riêng cho việc giải quyết một lớp các dãy số cụ thể, cũng có những dãy số có thể giải bằng nhiều cách khác nhau. Ớ đây, trong chuyên đề này, tác giả muốn đưa ra một số phương pháp cơ bản để nhận dạng và tìm giới hạn của dãy số, bên cạnh đó nhấn mạnh đến cách nhìn tổng quát, liệu có thể giải bài toán theo nhiều cách hay không? Và có thể tổng quát để tạo ra các dãy số mới tương tự như thế nào?

Chúc các em học tốt! Bình Định, mùa xuân 2021

2

MỤC LỤC MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

I. SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ WEIERSTRASS ĐỂ TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ .............................................................................. 6 II. PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH DÃY SỐ

................................................................ 14 III. PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG ĐỂ TÌM GIỚI HẠN MỘT SỐ DÃY SỐ ĐẶC BIỆT ................................................... 26 IV. ĐỊNH LÝ LAGRANGE VÀ DÃY SỐ SINH BỞI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ................................................................................. 34 V. XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC SỐ HẠNG TỔNG QUÁT TỪ HỆ THỨC TRUY HỒI VÀ TÌM GIỚI HẠN..................................................................... 43

3

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ. Như trên đã nói, trong kỳ thi học sinh giỏi môn Toán cấp tỉnh và cấp quốc gia, bài toán tìm giới hạn của dãy số thường xuyên xuất hiện và là một trong những bài toán cơ bản của đề thi. Với mục đích của chuyên đề là có cách nhìn tổng quan về bài toán tìm giới hạn của dãy số, ta xét một vài ví dụ mở đầu sau đây. BÀI TOÁN 1. (Trích đề thi VMO 2018) Cho dãy số ( ) n u xác định bởi 1 2 u = và

1 8 3, 1,2,... n n n u u u n + = + − + = Chứng minh rằng dãy số ( ) n u có giới hạn hữu hạn

và tìm giới hạn đó. + Nhận xét: Dễ thấy * 0, n u n > ∀∈. Ta có

1 5 5 3 8 3 2 8 3 8 3 n n n n n u u u u u + = + − + = < < + + + +

.

Cách giải 1: (Nhóm tác giả Trần Nam Dũng, Lê Phúc Lữ, Võ Quốc Bá Cẩn,…)

+ Nếu lim n u a = thì a là nghiệm của phương trình 3 8 3, 0, 2 a a a a   = + − + ∈   

. Giải

phương trình ta tìm được nghiệm thỏa mãn 1. a = + Ta chứng minh lim 1 n u = . Thật vậy, với mọi số nguyên dương n ta có

( )

( )

( ) ( )

1 1 8 3 2 3

1 1 1 8 3 3 2

1 1 1 8 3 3 2

1 1 5 1 1 3 2 6

n n n

n n n

n n n

n n

u u u

u u u

u u u

u u

+ − = + −+ − +

  = − −     + + + +  

  ≤ − +     + + + +     ≤ − + = −    

Do đó ( )

1 1 * 1 1 5 5 5 1 1 ... 1 , 6 6 6

n n

n n u u u n

− −

−     − ≤ − ≤ ≤ − = ∀∈         . Vì

1 5 lim 0 6

n−   =    

nên

lim 1 n u = .■

Cách giải 2: (Cách giải của tác giả)

+ Xét hàm số ( ) 3 8 3, 0, 2 f x x x x   = + − + ∀∈   

. Khi đó ( ) * 1 , n n u f u n + = ∀∈. Ta có

( ) 1 1 ' 2 8 2 3 f x x x = − + +

. Suy ra ( ) 1 1 1 3 ' , 0, 5 2 2 3 3 2 8 2

f x x   < − < ∀∈    +

. Theo định lý

Lagrange, ta suy ra tồn tại ( ) 1, n c u ∈ hoặc ( ) 1, n c u ∈ sao cho