Tài liệu giới hạn, hàm số liên tục Toán 11 CTST

5

Bài 1 GIỚI HẠN DÃY SỐ A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. I. Giới hạn hữu hạn của dãy số. 1. Giới hạn 0 của dãy số

- Ta nói dãy số ( ) nu có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu nu

nhỏ hơn một số dương bất kì cho trước, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu lim 0 n n u →+∞ = hay 0 nu → khi . n →+∞ Ta còn viết là lim 0. nu =

- Nhận xét:

• 1 lim 0, kn = với k nguyên dương bất kì.

• lim 0, n q = với q là số thực thỏa mãn 1 q < .

2. Giới hạn hữu hạn của dãy số • Ta nói dãy số ( ) nu có giới hạn hữu hạn là số a (hay nu dần tới a ) khi n dần tới dương vô cực, nếu lim( ) 0. nu a − = Khi đó, ta viết lim n n u a →+∞ = hay

lim nu a = hay nu a → khi . n →+∞  Chú ý: Nếu nu c = ( c là hằng số) thì lim lim . nu c c = = II. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số. Cho lim , lim n n u a v b = = và c là hằng số. Khi đó: • lim( ) n n u v a b + = + .

• lim( . ) . n c u c a = .

• lim ( 0) n

n

u a b v b = ≠ .

• lim( ) n n u v a b − = −.

• lim( . ) . n n u v a b = .

• Nếu 0, * nu n ≥ ∀∈ thì 0 a ≥ và lim n u a =

III. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. • Cấp số nhân vô hạn ( ) nu có công bội q thỏa mãn 1 q < được gọi là cấp

số nhân lùi vô hạn. Cấp số nhân lùi vô hạn này có tổng là:

1 1 2 ... .... . 1 n u S u u u q = + + + + = −

IV. Giới hạn vô cực.

Chương III: GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC

6

• Ta nói dãy số ( ) nu có giới hạn là +∞ khi n →+∞ nếu nu lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệulim nu = +∞hay

nu →+∞ khi n →+∞. • Ta nói dãy số ( ) nu có giới hạn là −∞ khi n →+∞ nếu lim( ) nu − = +∞,kí hiệu lim nu = −∞ hay nu →−∞ khi n →+∞.

 Chú ý: Ta có các kết quả sau: • lim nu = +∞khi và chỉ khi lim( ) nu − = −∞.

• Nếu lim nu = +∞hoặc lim nu = −∞ thì 1 lim 0

n u = .

• Nếu lim 0 nu = và 0 nu > với mọi n thì 1 lim

n u = +∞.

• lim ( , 1) k n k k = +∞ ∈ ≥  .

• lim ( 1) n q q = +∞ > . B. CÁC DẠNG TOÁN.

DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Phương pháp: + Nắm vững khái niệm cơ bản. Ví dụ 1. Tính các giới hạn sau:

a) 1 lim 2 3 n n + + . b)

2

2 5 3 7 lim n n n + − .

c)

2 9 1 lim 4 2 n n n − + − . d) 2 7 lim 4 n n + + .

Lời giải

a)

1 1 1 1 1 1 lim lim lim 3 3 2 3 2 2 2

n n n n n n n n

  + +   +   = = = +   + +    

.

b)

2 2 2

2 2 2

3 7 5 5 3 7 3 7 lim lim lim 5 5 n n n n n n n n n

  + −   + −     = = + − =     .

7

c)

2 2 2 2 1 1 1 1 9 9 9 1 lim lim lim 2 2 4 2 4 4

n n n n n n n n n n n n n

  − + − +   − +   = = −     − −        

2 1 1 9 3 lim . 2 4 4

n n

n

− + = = −

d) 2

2

7 1 7 1 lim lim . 0 4 4 1

n n n n n

+ + = = + +

.

DẠNG 2: TÍNH TỔNG CỦA CÁC CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

Phương pháp: + Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân. + Sau đó áp dụng công thức tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

1 1 2 ... .... . 1 n u S u u u q = + + + + = −

Ví dụ 2. Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn:

a) 1 1 1 1 ... 2 4 8 S = + + + +

b) 1 1 1 1 1 ... ... 4 16 64 4

n T   = − + − + + − +    

Lời giải

a) S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có 1 1 u = và 1 2 q = .

Do đó 1 2 1 1 2

S = = −

.

b) T là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có 1 1 u = và 1 4 q = − .

Do đó 1 4 1 5 1 2

T = =   −−    

.

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN. Bài 1: Tính các giới hạn sau: