Giới hạn, hàm số liên tục Toán 11 GDPT 2018
Xem trước nội dung
Chương 3. Giới hạn. Hàm sốliên tục Biết làm, làm đúng, làm nhanh
331
GIỚI HẠN. HÀM SỐLIÊN TỤC3 Chûúng
GIỚI HẠN. HÀM SỐLIÊN TỤC
331/764 p Toán 11 theo chương trình GDPT2018
1. Giới hạn của dãy số Biết làm, làm đúng, làm nhanh
332
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 1 Baâi söë
A – GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ
1. Định nghĩa
c Định nghĩa 1.1. Dãy số(un) có giới hạn bằng 0 khi n dần tới dương vô cực nếu |un| có thểnhỏhơn một sốdương bé tùy ý, kểtừmột sốhạng nào đó trởđi, kí hiệu L = lim n→+∞un = 0.
o Ngoài kí hiệu lim n→+∞un = 0 ta cũng sửdụng các kí hiệu sau: lim un = 0 hay un →0 khi n →+∞.
d Nhận xét. Nếu un ngày càng gần tới 0 khi n càng lớn thì lim un = 0.
c Định nghĩa 1.2. Dãy số(un) có giới hạn hữu hạn là a khi n dần tới dương vô cực nếu lim n→+∞(un −a) = 0,
kí hiệu lim n→+∞un = a.
o Ngoài kí hiệu lim n→+∞un = a ta cũng sửdụng các kí hiệu sau: lim un = a hay un →a khi n →+∞.
o ○Một dãy sốcó giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
○Không phải dãy sốnào cũng có giới hạn, chẳng hạn như dãy số(un) với un = (−1)n.
2. Một sốgiới hạn cơ bản
○lim 1 n = 0; lim 1
nk = 0 với k là sốnguyên dương cho trước.
○lim c n = 0; lim c
nk = 0 với c là hằng số, k là sốnguyên dương cho trước.
○Nếu |q| < 1 thì lim qn = 0.
○Dãy số(un) với un = Å 1 + 1
n
ãn có giới hạn là một sốvô tỉvà gọi giới hạn đó là e,
e = lim Å 1 + 1
n
ãn ·
Một giá trịgần đúng của e là 2, 718281828459045.
B – ĐỊNH LÍ VỀGIỚI HẠN HỮU HẠN
c Định lí 1.1.
○Nếu lim un = a và lim vn = b thì:
lim (un + vn) = a + b;
lim (un −vn) = a −b;
lim (un · vn) = a · b;
lim un
vn = a
b (vn ̸= 0, b ̸= 0) .
○Nếu un ≥0 với mọi n và lim un = a thì a ≥0 và lim √un = √a.
332/764 p Toán 11 theo chương trình GDPT2018
Chương 3. Giới hạn. Hàm sốliên tục Biết làm, làm đúng, làm nhanh
333
C – TỔNG CỦA CẤP SỐNHÂN LÙI VÔ HẠN
c Định nghĩa 1.3. Cấp sốnhân vô hạn u1, u1q, ..., u1qn−1, ... có công bội q thỏa mãn |q| < 1 được gọi là cấp sốnhân lùi vô hạn. Tổng của cấp sốnhân lùi vô hạn đã cho là
S = u1 + u1q + u1q2 + ... = u1 1 −q.
D – GIỚI HẠN VÔ CỰC
c Định nghĩa 1.4.
a) Dãy số(un) có giới hạn +∞khi n →+∞, nếu un có thểlớn hơn một sốdương bất kì, kểtừmột số hạng nào đó trởđi. Kí hiệu lim n→+∞un = +∞hay lim un = +∞hay un →+∞khi n →+∞.
b) Dãy số(un) có giới hạn −∞khi n →+∞nếu lim n→+∞(−un) = +∞.
Kí hiệu lim n→+∞un = −∞hay lim un = −∞hay un →−∞khi n →+∞.
d Nhận xét. Một sốgiới hạn cơ bản
○lim nk = +∞với k là một sốnguyên dương cho trước.
○lim qn = +∞với q > 1 là một sốthực cho trước.
○Nếu lim un = a và lim vn = +∞(hoặc lim vn = −∞) thì lim un vn = 0.
○Nếu lim un = a, a > 0 và lim vn = 0, vn > 0 với mọi n thì lim un vn = +∞.
○lim un = +∞⇔lim (−un) = −∞.
E – CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
| Dạng 1. Tính giới hạn dãy sốbằng cách dùng định nghĩa, định lí vềgiới hạn dãy số
Cho lim un = a, lim vn = b và c là hằng số. Khi đó
○lim(un + vn) = a + b
○lim(un · vn) = a · b
○lim(un −vn) = a −b
○lim(c · un) = c · a
○lim un vn = a
b , (b ̸= 0).
○Nếu un ≥0, ∀n ∈N∗thì a ≥0 và lim √un = √a.
1. Ví dụmẫu
Ví dụ1 (Cánh Diều). Cho dãy số(un) với un = (−1)n
n . Giảsửh là sốdương bé tùy ý cho trước.
Tìm sốtựnhiên n để|un| < h; a) Tính lim (−1)n
n · b)
333/764 p Toán 11 theo chương trình GDPT2018
Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.
