Hướng dẫn giải toán chuyên đề dãy số - Nguyễn Minh Hải

Nguyễn Minh Hải. THPT Lê Xoay - Vĩnh Tường - Vĩnh phúc

VT. 05 - 2009 1

Lời nói đầu

Một trong những phương pháp rất mạnh trong toán học dùng nghiên cứu và

chứng minh các giả thiết là nguyên lý quy nạp toán học. Phương pháp quy nạp

được áp dụng sâu rộng vào hầu hết các dạng toán: Số học, Dãy số, Hình học,

BĐT, Tổ hợp,…Trong báo cáo này tôi chỉ đề cập đến áp dụng của phương pháp

quy nạp vào một số dạng toán về dãy số.

Trong chương trình toán phổ thông thì toán về dãy số được phân phối thời

lượng không nhiều, đặc biệt trong chương trình toán phân ban hiện nay đã lược

bỏ nhiều định lý quan trọng.Trong phần lớn các kỳ thi thì dạng toán này hầu như

không có. Toán về dãy số thường chỉ giành cho những học sinh khá giỏi trong

các kỳ thi cấp Tỉnh và Quốc gia, do vậy nó càng ít được học sinh và cả giáo viên

quan tâm đến. Phần vì dạng toán này cũng tương đối khó và trừu tượng đối với

học sinh, học sinh gặp nhiều khó khăn và rất ngại khi gặp dạng toán này.

Trong thời gian vừa qua tôi đã thu thập, tích lũy và hệ thống được một số dạng

toán về dãy số nhằm phục vô cho công tác giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi của

mình. Với mục đích giúp học sinh tiếp cận một số dạng toán đặc trưng về dãy số

do đó tôi lựa chọn đề tài này. Các bài toán được lựa chọn chủ yếu cho những học

sinh khá, giỏi. Sự phân chia thành các dạng toán và những đánh giá của tôi là

theo quan điểm chủ quan của mình, do đó không tránh khỏi những thiếu sót.

Kính mong các thầy cô và các bạn đồng nghiệp đọc và cho ý kiến góp ý để tài

liệu này được hoàn thiện hơn.

Xin chân thành cám ơn !

Vĩnh Tường 5 . 2009

Tác giả: Nguyễn Minh Hải

Nguyễn Minh Hải. THPT Lê Xoay - Vĩnh Tường - Vĩnh phúc

VT. 05 - 2009 2

Mục lục

TT Nội dung Trang

Lời nói đầu 1

Phần 1 Một số vấn đề về lý thuyết

I Phương pháp quy nạp toán học 3

II Một số vấn đề về dãy số 5

III Một số dạng toán về dãy số thường gặp 6

Phần 2 áp dụng giải toán

I Chứng minh dãy số tăng, giảm và bị chặn 8

II Công thức tổng quát của dãy số 10

III Tìm giới hạn của dãy số 12

IV Một số dạng toán khác 18

Phần 3 Bài tập tổng hợp 21

Tài liệu tham khảo 23

Nguyễn Minh Hải. THPT Lê Xoay - Vĩnh Tường - Vĩnh phúc

VT. 05 - 2009 3

Phần 1. Một số vấn đề về nguyên lý Quy nạp toán học và Dãy số.

I.Phương pháp quy nạp toán học

Sau đây là ba dạng của nguyên lÝ quy nạp toán học thường được dùng trong những

bài toán ë THPT.

1. Định lÝ 1. Cho n0 là một số nguyên dương và P(n) là mệnh đề có nghĩa với mọi số tự

nhiên 0. n n 

Nếu: 10. P(n0) là mệnh đề đúng

20. Nếu P(k) đúng thì P(k+1) cũng đúng với mỗi số tự nhiên 0. k n 

Khi đó mệnh để P(n) đúng với mọi số tự nhiên 0. n n 

Ví dụ 1. Cho dãy số (un) xác đinh bởi: un = n2.

CMR tồng của n phần tử đầu tiên của dãy được tính: ( 1)(2 1). 6 n n n n S   

Chứng minh.

Với n = 1. Đẳng thức đúng.

Giả sử ĐT đúng với n = k ( k ≥ 1), tức là có: ( 1)(2 1). 6 k k k k S   

Ta chứng minh ĐT đúng với n = k+1, tức CM: 1

( 1)( 2)(2 3). 6 k k k k S 

   

Thật vậy. Ta có 2 2 1

( 1)(2 1) ( 1)( 2)(2 3) ( 1) ( 1) . 6 6 k k k k k k k k S S k k 

           

Vậy ĐT đúng với mọi số nguyên dương.

2. Định lÝ 2. Cho p là số nguyên dương và dãy các mệnh đề: P(1), P(2), …, P(n),…

Nếu: 10. P(1), P(2), …, P(p) là những mệnh đề đúng

20. Với mỗi số tự nhiên k p  các mệnh đề ( 1), ( 2), ..., ( ) P k p P k p P k    

đúng, suy ra mệnh đề P(k+1) cũng đúng.

Khi đó mệnh để P(n) đúng với mọi số nguyên dương n.

Ví dụ 2. Cho 0 1 2, 3 v v   và với mỗi số tự nhiên k có đẳng thức: 1 1 3 2 . k k k v v v    

CMR: 2 1. n nv  

Chứng minh.

- Dễ thấy mệnh đề đúng với n = 0, 1.