Dãy số và giới hạn của dãy số - Nguyễn Tất Thu

Mục lục

Chương 1. DÃY SỐ 3 1.1 Dãy số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Định nghĩa dãy số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Cách cho dãy số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3 Dãy sốtăng, giảm và dãy sốbịchặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Cấp sốcộng - Cấp sốnhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Cấp sốcộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Cấp sốnhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.2.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.3 Ứng dụng CSC-CSN đểtìm CTTQ của dãy số. . . . . . . . . . . . . . 16

Chương 2. GIỚI HẠN DÃY SỐ 35 2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2 Các định lí vềgiới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3 Một sốphương pháp tìm giới hạn dãy số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3.1 Xác định công thức tổng quát của dãy số. . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3.2 Sửdụng nguyên lí Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.3.3 Sửdụng nguyên lí kẹp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.3.4 Xây dựng dãy phụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.3.5 Giới hạn của dãy un = f (un) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.3.6 Giới hạn của một tổng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.4 Dãy sốsinh bởi phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

1

Chương 1

DÃY SỐ

1.1 Dãy số

1.1.1 Định nghĩa dãy số

Định nghĩa 1.1. Dãy sốhữu hạn là tập hợp các giá trịcủa hàm sốu : {1,2,3,...,m} →R,

n →u(n) được sắp xếp theo thứtựtăng dần theo đối sốn:

u1,u2,...,um.

Ta nói dãy sốcó m sốhạng và

• u1: được gọi là sốhạng đầu

• um: được gọi là sốhạng cuối.

Định nghĩa 1.2. Dãy sốlà tập hợp các giá trịcủa hàm sốu : N∗→R, n →u(n) Được sắp xếp theo thứtựtăng dần liên tiếp theo đối sốtựnhiên n:

u(1),u(2),u(3),...,u(n),...

• Ta kí hiệu u(n) bởi un và gọi là sốhạng thứn hay sốhạng tổng quát của dãy số,

u1 được gọi là sốhạng đầu của dãy số.

• Ta có thểviết dãy sốdưới dạng khai triển u1,u2,...,un,... hoặc dạng rút gọn (un).

1.1.2 Cách cho dãy số

Người ta thường cho dãy sốtheo các cách sau:

• Cho sốhạng tổng quát, tức là: cho hàm sốu xác định dãy sốđó

• Cho bằng công thức truy hồi, tức là:

* Cho một vài sốhạng đầu của dãy

* Cho hệthức biểu thịsốhạng tổng quát qua sốhạng (hoặc một vài sốhạng) đứng trước nó.

3

4 Chương 1. DÃY SỐ

Ví dụ1.1

Cho dãy số(un) được xác định bởi un = n+1

2n với n ⩾1.

1. Viết 5 sốhạng đầu tiên của dãy

2. Chứng minh rằng un ⩽1, ∀n ⩾1.

Lời giải. 1) Ta có

u1 = 1+1

21 = 1, u2 = 2+1

22 = 3

4, u3 = 3+1

23 = 1

2, u4 = 4+1

24 = 5

16,u5 = 5+1

25 = 3

16.

2) Ta có un ⩽1 ⇔2n ⩾n+1 (1). Ta chứng minh (1) bằng phương pháp quy nạp. Với n = 1 ta thấy (1) đúng. Giảsử(1) đúng với n = k ⩾1, tức là 2k > k +1. Khi đó

2k+1 = 2.2k ⩾2(k +1) = k +2+ k > k +2.

Do đó (1) đúng với n = k +1. Vậy bài toán được chứng minh. ■

Ví dụ1.2

Cho dãy số(un) được xác định bởi  



u1 = 2

un+1 = un +1

2 , ∀n ⩾1 .

1. Tìm 4 sốhạng đầu của dãy

2. Chứng minh rằng un > 1 với ∀n ⩾1

3. Tìm công thức tổng quát của dãy (un).

Lời giải. 1) Ta có

u1 = 2, u2 = u1 +1

2 = 3

2, u3 = u2 +1

2 = 5

4, u4 = u3 +1

2 = 9

8.

2) Ta chứng minh un > 1 bằng quy nạp. Hiển nhiên, ta có u1 > 1. Giảsửun > 1, khi đó

un+1 = un +1

2 > 1+1

2 = 1.

Do đó, ta có un > 1, ∀n ⩾1. 3) Ta có

u1 = 2, u2 = 21 +1

2 , u3 = 22 +1

22 , u4 = 23 +1

23 .

Nguyễn …