Cách tìm công thức tổng quát của dãy số cho bởi công thức truy hồi - Phạm Thị Thu Huyền

GV: Phạm Thị Thu Huyền

1

CÁC TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI Dạng 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số (dạng đa thức) khi biết các số hạng đầu tiên Ví dụ 1.1: Cho dãy số   n u có dạng khai triển sau: 1; 1; 1;1;5;11;19;29;41;55;.....  Hãy tìm công thức của số hạng tổng quát và tìm số tiếp theo? Bài giải: Nhận xét: Với 10 số hạng đầu thế này, để tìm ra quy luật biểu diễn là rất khó. Với những cách cho này ta thường làm phương pháp sau: Đặt: 1 k k k u u u     2 1 k k k u u u     3 2 2 1 k k k u u u     …….. Ta lập bảng các giá trị 2 3 , , ..... k k k u u u    nếu đến hàng nào có giá trị không đổi thì dừng lại, sau đó kết luận n u là đa thức bậc 1, 2, 3,…..và ta đi tìm đa thức đó. Lời giải: Bảng giá trị ban đầu:

ku 1 -1 -1 1 5 11 19 29 41 55

ku  -2 0 2 4 6 8 10 12 14

2 ku  2 2 2 2 2 2 2 2 Ta thấy hàng của 2 ku  không đổi nên dãy số là dãy các giá trị của đa thức bậc hai:   2 0 n u an bn c a     (1) trong đó n là số thứ tự của các số hạng trong dãy. Tìm , , a b c như sau: Cho 1;2;3 n  thay vào công thức (1) ta được hệ phương trình sau: 1 1

4 2 1 5 9 3 1 5

a b c a

a b c b a b c c

                     

2 5 5 n u n n    

Số hạng tiếp theo 11 71 u  Ví dụ 1.2: Cho dãy số   n u có dạng khai triển sau: 5; 3;11;43;99;185;307;471;....  

GV: Phạm Thị Thu Huyền

2

Hãy tìm công thức của số hạng tổng quát và 2 số hạng tiếp theo Bài giải: Bảng giá trị ban đầu

ku -5 -3 11 43 99 185 307 471

ku  2 14 32 56 86 122 164

2 ku  12 18 24 30 36 42

3 ku  6 6 6 6 6

Ta thấy hàng của 3 ku  không đổi nên dãy số là dãy các giá trị của đa thức bậc ba:   3 2 0 n u an bn cn d a      (2) trong đó n là số thứ tự của các số hạng trong dãy. Tìm , , , a b c d như sau: Cho 1;2;3;4 n  thay vào công thức (2) ta được hệ phương trình sau: 5 5 1 8 4 2 3 7 3 2 0 27 9 3 11 26 8 2 16 5 64 16 4 43 63 15 3 48 1

a b c d a b c d a a b c d a b c b a b c d a b c c a b c d a b c d

                                                     

3 5 1 nu n n     Hai số hạng tiếp theo là: 9 683 u  ; 10 949 u  Lời bình: Công thức tìm được trên là không duy nhất vì hiển nhiên các số hạng đã cho cũng thỏa mãn, chẳng hạn dãy số sau:     2 5 5 . 1 2 3 n u n n P n n n n       (Của ví dụ 1.1)

     3 5 1 1 2 3 4 n u n n P n n n n n        (của ví dụ 1.2)

Với  P n là một đa thức bất kỳ Vậy cách tìm trên đây là mới chỉ tìm được một dạng mà dãy số đã cho thỏa mãn mà không tìm được tất cả các dạng mà dãy số đã cho thỏa mãn. Bài tập tương tự: Với mỗi dãy số sau đây, hãy tìm công thức của số hạng tổng quát của dãy số 1) 8;14;20;26;32;..... (Đs: 6 2 n u n  )

2) 1; 2; 2;1;7;16;28;43;61;...   (Đs: 2 3 15 7 2 2 n u n n    )

3) 1;6;17;34;57;86;121;..... (Đs: 2 3 4 2 n u n n   )

GV: Phạm Thị Thu Huyền

3

4) 2;3;7;14;24;37;..... (Đs: 2 3 7 4 2 2 n u n n   )

5) 3;5;10;18;29;..... (Đs: 2 3 5 4 2 2 n u n n   )

6) 2;1;5;14;28;47;71;100;134;173;217;.... (Đs: 2 5 17 8 2 2 n u n n   )

7) 2;2;8;26;62;122;212;338;.... (Đs: 3 2 3 2 2 n u n n n    )

DẠNG 2: Dạng cơ sở: Cho dãy   n u biết 1

1 , n n

u a

u qu d 

      1 n 

Với ,q d là các hằng số thực. GIẢI:

 Trường hợp 1: Nếu 0 q  1

1 , n

u a

u d 

     1 n 

1u a   , * , , 2 n u d n n    

 Trường hợp 2: Nếu 1 q  1

1 , n n

u a

u u d 

      1 n 

  n u  là cấp số cộng với số hạng đầu 1u a  và công sai bằng d

  1 n u a n d    

 Trường hợp 3: Nếu 0 d  1

1 , n n

u a

u qu 

     1 n 

  n u  là cấp số nhân với số hạng đầu 1u a  và công bội bằng q

1 . n n u a q   

 Trường hợp 4: Nếu 0, 1, 0 q q d   . Đặt dãy   nv sao cho 1 n n d u v q   (1)

Thay ct(1) vào công thức truy hồi ta có:

1 1 1 n n d d v q v d q q             

1 , n n v qv    1 n 

  nv  là một cấp số nhân với số hạng đầu 1 1 1 1 d d v u a q q     …