Đi tìm công thức tổng quát của dãy số - Trần Duy Sơn

Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn

2 ______________________________________________________________________________ The love makes us stronger

Giới thiệu

Dãy số là một phần của Đại số cũng như Giải tích toán học. Dãy sốđóng một vai trò cực kì quan trọng trong toán học cũng như nhiều lĩnh vực của đời sống. Trong các kì thi HSG quốc gia, IMO (Olympic toán học quốc tế), hay những kì thi giải toán của nhiều tạp chí toán học các bài toán về dãy số được xuất hiện khá nhiều và được đánh giá ở mức độkhó. Các bạn học sinh cũng đã được làm quen với dãy số từ rất sớm, từ hồi tiểu học chúng đã được làm quen với các bài toán về dãy số như: tìm quy luật của một dãy số đơn giản,…

Đây không phải một giáo trình về lí thuyết dãy số mà chỉ là một chuyên đề nhỏ trình bày một vấn đề nhỏ trong lĩnh vực dãy số. Tập tài liệu này gần như một bài viết mở, như một cuộc trao đổi, trò chuyên, trình bày con đường đi tìm công thức tổng quát của một số dạng dãy số cơ bản, từ đó ứng dụng để giải một số bài toán.

Do đây là chuyên đềđầu tay của tôi, nên nội dung cũng như cách trình bày trong tài liệu này chắc chắn còn nhiều thiếu xót, rất mong bạn đọc thông cảm và có ý kiến đóng góp để bài viết được hoàn thiện. Mọi ý kiên đóng góp, phản hồi xin gửi về địa chỉ hòm thư: ibelieveicanfly@ymail.com

Trần Duy Sơn Xuân kỷ sửu 2009

Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn

3 ______________________________________________________________________________ The love makes us stronger

Một số kí hiệu dùng trong tập tài liệu

 CSN – Cấp số nhân  CSC – Cấp số cộng  CTTQ – Công thức tổng quát

Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn

4 ______________________________________________________________________________ The love makes us stronger

Mục lục

Trang

Đi tìm công thức tổng quát dãy số………………………………………………………... 5

Phương trình sai phân tuyến tính…………………………………………………………. 14

Sử dụng phép thế lượng giác để xác định CTTQ dãy số………………………………… 16

Các bài toán dãy số chọn lọc……………………………………………………………... 18

Bài tập đề nghị……………………………………………………………………………. 20

Tài liệu tham khảo………………………………………………………………………... 21

Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn

5 ______________________________________________________________________________ The love makes us stronger

Đi tìm công thức tổng quát dãy số

Trong phần này, tôi và các bạn sẽ cùng nhau tìm hiểu và nêu ý tưởng tìm CTTQ của một số dạng dãy số bản. Chúng ta sẽbắt đầu bằng một bài tập đơn giản trong sách giáo khoa sau:

Ví dụ1: (Bài 45, trang 123, Đại số& Giải tích 11 nâng cao)

Cho dãy số( ) n u xác định bởi:

1 2 u  và 1 1 2

n n

u u   2. n  Chứng minh rằng

1

1 2 1 2

n

n n u





 

Với mọi sốnguyên dương .n

Ý tưởng:

Khi gặp dạng bài chắc hẳn nhiều bạn sẽnghĩ ngay đến việc chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Nhưng làm như thếthì chẳng có gì thú vị, vậy tại sao chúng ta không thửđi tìm một cách giải khác cho bài toán này! Ta nhận thấy đềbài cho một công thức truy hồi xác định dãy

( ) n u và cho sốhạng đầu tiên 1 2 u  nên ý tưởng của chúng ta sẽlà tìm cách đưa( ) n u vềmột

CSC hoặc CSN đểdễdàng liên hệvới 1u đã cho.

Giải:

Ta viết lại 1 ( ) : 2 1 n n n u u u    từđó ta sẽtìm cách đưa vềCSN. Nhưng một rắc rối nhỏlà ởvế

phải của công thức truy hồi có số1. Bây giờnếu đặt n n u v d   và thay vào dãy ta được:

1 2( ) 1. n n v d v d      Từđó nếu 2 1 1 d d d    thì( ) nv sẽlà một CSN với công bội

1 1 1 1 . 2 2 n n q v v     Mà

1

1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 . 2 2

n

n n n n v u a v u v d



 

        

Đến đây bài toán coi như được chứng minh xong!

Nhận xét:

Bài toán trên rất đơn giản và điển hình cho dạng bài tìm CTTQ của dãy số. Thông thương chúng ta có thểdễdàng giải nó bằng phương pháp quy nạp. Nhưng nếu không cho trước CTTQ của dãy sốthì phương pháp quy nạp gần như vô hiệu và cần có phương pháp cho nhưng trường hợp như thế. Trong tập tài liệu này tôi và các bạn sẽcùng nhau đi tìm CTTQ của dãy số. Tiếp theo ta sẽxét một sốví dụkhác sau đây.

Ví dụ2: …