Hướng dẫn giải các dạng toán dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

CHƯƠNG3 DÃY SỐ- CẤP SỐCỘNG - CẤP SỐNHÂN

BÀI 1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Bài toán. Chứng minh mệnh đềchứa biến P(n) đúng với mọi sốnguyên dương n. Phương pháp.

Bước 1. Với n = 1, ta chứng minh P(1) đúng.

Bước 2. GiảsửP(n) đúng với n = k ≥1. Ta cần chứng minh P(n) đúng với n = k + 1. Kết luận, mệnh đềP(n) đúng với mọi sốnguyên dương n.

!

Đểchứng minh mệnh đềchứa biến P(n) đúng với n ≥p, p là sốnguyên dương. Ta cũng làm các bước tương tựnhư trên.

Bước 1. Với n = p, ta chứng minh P(p) đúng.

GiảsửP(n) đúng với n = k ≥p. Ta cần chứng minh P(n) đúng với n = k + 1. Kết luận, mệnh đềP(n) đúng với mọi sốnguyên dương n.

B DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP

{ DẠNG 1.1. Chứng minh mệnh đềP(n) đúng với mọi sốtựnhiên n

Thực hiện theo các bước đã nêu ởphần tóm tắt lí thuyết.

1 VÍ DỤ

VÍ DỤ1. Chứng minh rằng với mọi sốtựnhiên n ≥1, ta có

1 + 2 + 3 + · · · + n = n(n + 1)

2 . 1 13 + 23 + 33 + · · · + n3 = n2(n + 1)2

4 . 2

L Lời giải

1 Đặt Sn = 1 + 2 + 3 + · · · + n = n(n + 1)

2 . (1)

Với n = 1 thì S1 = 1(1 + 1)

2 = 1. Vậy (1) đúng với n = 1.

301

302 CHƯƠNG 3. DÃY SỐ- CẤP SỐCỘNG - CẤP SỐNHÂN

Giảsử(1) đúng với n = k ≥1, k ∈N, tức là ta có

Sk = 1 + 2 + 3 + · · · + k = k(k + 1)

2 .

Ta cần chứng minh (1) cũng đúng với n = k + 1, tức là cần chứng minh

Sk+1 = 1 + 2 + 3 + · · · + (k + 1) = (k + 1)[(k + 1) + 1]

2 = (k + 1)(k + 2)

2 .

Thật vậy, ta có

Sk+1 = Sk + (k + 1) = k(k + 1)

2 + (k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1)

2 = (k + 1)(k + 2)

2 .

Vậy (1) đúng với n = k + 1.

Do đó, 1 + 2 + 3 + · · · + n = n(n + 1)

2 với mọi sốtựnhiên n ≥1.

2 Đặt Tn = 13 + 23 + 33 + · · · + n3 = n2(n + 1)2

4 . (1)

Với n = 1 thì T1 = 12(1 + 1)2

4 = 1 = 13. Vậy (1) đúng với n = 1.

Giảsử(1) đúng với n = k ≥1, k ∈N, tức là ta có

Tk = 13 + 23 + 33 + · · · + k3 = k2(k + 1)2

4 .

Ta cần chứng minh (1) cũng đúng với n = k + 1, tức là cần chứng minh

Tk+1 = 13 + 23 + 33 + · · · + (k + 1)3 = (k + 1)2 [(k + 1) + 1]2

4 = (k + 1)2(k + 2)2

4 .

Thật vậy, ta có

Tk+1 = Tk + (k + 1)3 = k2(k + 1)2

4 + (k + 1)3 = k2(k + 1)2 + 4(k + 1)3

4 = (k + 1)2 k2 + 4(k + 1)

4

= (k + 1)2(k2 + 4k + 4)

4 = (k + 1)2(k + 2)2

4 .

Vậy (1) đúng với n = k + 1.

Do đó, 13 + 23 + 33 + · · · + n3 = n2(n + 1)2

4 với mọi sốtựnhiên n ≥1.

Nhận xét. Với mọi sốtựnhiên n ≥1, ta có Tn = S2 n.

□

VÍ DỤ2. Chứng minh rằng với mọi sốtựnhiên n ≥1, ta luôn có

un = n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3. 1 un = 9n −1 chia hết cho 8. 2

L Lời giải

1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC 303

1 Với n = 1 ta có u1 = 13 + 3 · 12 + 5 · 1 = 9 chia hết cho 3. Vậy mệnh đềđúng với n = 1. Giảsửmệnh đềđúng với n = k ≥1, k ∈N, tức là uk = k3 + 3k2 + 5k chia hết cho 3. Ta cần chứng minh uk+1 = (k + 1)3 + 3(k + 1)2 + 5(k + 1) chia hết cho 3. Thật vậy, ta có

uk+1 = (k + 1)3 + 3(k + 1)2 + 5(k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + 1 + 3(k + 1)2 + 5k + 5

= k3 + 3k2 + 5k + 3(k + 1)2 + 3k + 6.

Vì k3 + 3k2 + 5k ... 3, 3(k + 1)2 ... 3, 3k ... 3 và 6 ... 3 nên uk+1 ... 3. Vậy mệnh đềđúng với n = k + 1. Do đó, ta có điều phải chứng minh.

2 Với n = 1 ta có u1 = 91 −1 = 8 chia hết cho 8. Vậy mệnh đềđúng với n = 1. Giảsửmệnh đềđúng với n = k ≥1, k ∈N, tức là uk = 9k −1 chia hết cho 8. Ta cần chứng minh uk+1 = 9k+1 −1 chia hết cho 8. Thật vậy, ta có

uk+1 = 9k+1 −1 = 9 · 9k −9 + 8 = h 9 9k −1 + 8 i ... 8.

Vậy mệnh đềđúng với n = k + 1. Do đó, ta có điều phải chứng minh.

□

VÍ DỤ3. Chứng minh rằng với mọi sốtựnhiên n ≥3, ta luôn có

3n > n2 + 4n + 5. 1 2n > 2n + 1. 2

L Lời giải

1 Với n = 3 ta thấy bất đẳng thức đã cho đúng. Giảsửbất đẳng thức đã cho đúng với n = k ≥3, k ∈N, tức là ta có 3k > k2 + 4k + 5. (1) Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là

3k+1 > (k + 1)2 + 4(k + 1) + 5 hay 3k+1 > k2 + 6k + 10.

Thật vậy, nhân cảhai vếcủa bất đẳng thức (1) với 3 ta được

3· 3k > 3(k2 + 4k + 5) ⇔3k+1 > k2 + 6k + 10+ 2k2 + 6k + 5 ⇒3k+1 > k2 + 6k + 10 (vì k ≥3).

Vậy bất đẳng thức đã cho đúng với n = k + 1. Do đó, ta có điều phải chứng minh.

2 Với n = 3 ta thấy bất đẳng thức đã cho đúng. Giảsửbất đẳng thức đã cho …