Chuyên đề dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân - Nguyễn Bảo Vương

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học: 2020-2021

Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1

Lý thuyết. Phương pháp quy nạp toán học Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên * n là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp thì có thể làm như sau:

Bước 1. Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với 1. n  Bước 2. Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì 1 n k   (gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh rằng nó cũng đúng với 1. n k   Đó là phương pháp quy nạp toán học, hay còn gọi tắt là phương pháp quy nạp. Một cách đơn giản, ta có thể hình dung như sau: Mệnh đề đã đúng khi 1 n  nên theo kết quả ở bước 2, nó cũng đúng với 1 1 2. n  Vì nó đúng với 2 n  nên lại theo kết quả ở bước 2, nó

đúng với 2 1 3,... n   Bằng cách ấy, ta có thể khẳng định rằng mệnh đề đúng với mọi số tự

nhiên *. n 2. Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n p  ( p là một số tự

nhiên) thì:

 Bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với ; n p 

 Bước 2, giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì n k p   và phải chứng minh rằng nó

cũng đúng với 1. n k  

DẠNG: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP ĐỂ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC, TÍNH CHIA HẾT, HÌNH HỌC…

A. Phương pháp giải Giả sử cần chứng minh đẳng thức ( ) ( ) P n Q n  (hoặc ( ) ( ) P n Q n  ) đúng với 0 0 , n n n   ta

thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính 0 0 ( ), ( ) P n Q n rồi chứng minh 0 0 ( ) ( ) P n Q n 

Bước 2: Giả sử 0 ( ) ( ); , P k Q k k k n     , ta cần chứng minh

( 1) ( 1) P k Q k    .

B. Bài tập tự luận

Câu 1. Chứng mình với mọi số tự nhiên 1 n  ta luôn có: ( 1) 1 2 3 ... 2 n n n     

............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ …