Phân loại và phương pháp giải bài tập dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 214

CHƯƠNG 3. DÃY SỐ- CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

BÀI 1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên * n Î  là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp thì có thể làm như sau:

· Bước 1. Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với 1. n =

· Bước 2. Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì 1 n k = ³ (gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh rằng nó cũng đúng với 1. n k = +

Đó là phương pháp quy nạp toán học, hay còn gọi tắt là phương pháp quy nạp.

Một cách đơn giản, ta có thể hình dung như sau: Mệnh đề đã đúng khi 1 n = nên theo kết quả ở bước 2, nó cũng đúng với 1 1 2. n = + = Vì nó đúng với 2 n = nên lại theo kết quả ở bước 2, nó đúng với 2 1 3,... n = + = Bằng cách ấy, ta có thể khẳng định rằng mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên

*. n Î 

Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n p ³ ( p là một số tự nhiên) thì:

· Bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với ; n p =

· Bước 2, giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì n k p = ³ và phải chứng minh rằng nó cũng

đúng với 1. n k = +

B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1. Chứng minh đẳng thức

Ví dụ 1 . Chứng minh rằng:             2 * 1.2 2.5 3.8 ... n 3n 1 n n 1 ,vôùin N (1)

Lời giải  Bước 1: Với n=1, vế trái bằng 1.2=2, vế phải bằng 2. hệ thức (1) đúng  Bước 2: Đăt vế trái bằng Sn. Giả sử hệ thức (1) đúng vơi n k 1  , tức là :

   

      

  

2 k

2 k 1

S 1.2 2.5 ... k(3k 1) k (k 1)( giaû thieát quy naïp)

Ta phải chứng minh rằng (1) cũng đúng với n=k+1, tức là :

S k 1 k 2

Thậ vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:        

  

             

      



2 k 1 k

2 2

*

S S k 1 3 k 1 1 k k 1 k 1 3k 2

(k 1)(k 3k 2) k 1 k 2

Vậy hệ thức (1) đúng với mọi n N

Dạng 2. Chứng minh bất đẳng thức

Ví dụ 1. Chứng minh rằng với mọi n 3  ta có: n 2 3 n 4n 5    (1) Lời giải

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 215



   k 2

Với n=3, vế trái bằng 27, còn vế phải bằng 26.

Bất đẳng thức (4) đúng. Giải sử bất đẳng thức (4) đúng với n=k 3. tức là:

3 k 4k 5. (1')

Ta phải chứng minh nó cũng đúng với n=k+

   

   

   





    

          

       

2 k+1

2 k 1 2 2

2 2 k 1

1, töùc laø:

3 k 1 4 k 1 5

Thật vậy, nhân hai vế của bất đẳng thức (1') với 3 ta có:

3 3k 12k 15 k 1 4 k 1 5 2k 6k 5

Vì 2k 6k 5 0neân 3 k 1 4 k 1 5

Đăng thức (1) đã được chứng minh

Dạng 3. Chứng minh một tính chất

Ví dụ. Chứng minh rằng:   7 * n n chia heát cho 7 vôùi moïi n N Giải

 

   

 



 

            

     



7 n

1

7 k

7 7 6 5 4 3 2 k+1

7 6 5 4

Ñaët A n n.

Khi n=1 thì A 0 chia heát cho 7

Giả sử đã có: A k k 7

Thật vây, áp dụng công thức nhị thức Niu-ton ta có:

A k 1 k 1 k 7k 21k 35k 35k 21k 7k 1 k 1

k k 7 k 3k 5k 5k    

 

 



3 2

7 k k+1 7 *

3k k

Theo giả thiết quy nạp thì A k k chia hết cho 7, do đóA 7

Vaäy n n chia heát cho 7 vôùi moïi n N

Dạng 4. Một số bài toán khác

Ví dụ. Chứng minh rằng: n+1 2 2 ... 2 2cos 2

    

Giải



  

n

k k+1

Đặt vế trái của hệ thức (1) bằng C .

Khi n=1, vế trái bằng 2, vế phải bằng 2cos 2; hệ thức (1) đúng 4

Giả sử hệ thức (1) đúng với n=k 1, tức là C 2cos 2

ta phaûi chöùng minh:



  

 

     

    

k+1 k+2

k+1 k k 1

2 k 2 k 2 k 2

C 2cos 2 Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

C 2 C 2 2cos 2

4cos 2cos ( vì cos ) 2 2 2 Vậy hệ thức (1) đã được chứng minh