Tài liệu ôn thi HSG Quốc gia môn Toán chủ đề dãy số - Nguyễn Hoàng Vinh

GVBS: Nguyễn Hoàng Vinh [TÀI LIỆU ÔN THI HSGQG 2021 – DÃY SỐ]

1 | N ă m h ọc 2 0 2 1 - 2 0 2 2

CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ

ÔN DỰ TUYỂN 2020 – 2021

LẦN 1

Nội dung:

1. Tính giới hạn theo định nghĩa, định lý kẹp, định lý Weierstrass, dùng công thức tổng quát…

2. Các tính chất, đánh giá xung quanh dãy số.

Bài 1: Cho dãy số ( ) n a thỏa 1 n 1 n

1 2 n

1 a 0,a a a a ... a +  = + + + + . Tính n 1

n

a lim a

+ .

Lời giải:

Từ giả thiết, ta có ( ) n a là dãy dương và tăng ngặt, suy ra 1 2 n n a a ... a na + + +  và điều này suy

ra n 1 n n 1 1 n n

1 1 1 1 a a a a 1 ... na a 2 n + +

   +   + + + +    

.

Giả sử dãy ( ) n a bị chặn trên bởi M, suy ra

n

1 1 1 1 1 ... a 2 n   + + + +    

cũng bị chặn, hay

1 1 1 1 1 ... M 2 n   + + + +    

cũng bị chặn và điều này vô lý.

Vậy n lima = + và từ trên ta có đánh giá: ( )

n 1

n n 1 n

a 1 1 1 a a a ... a

+ = + → + + hay n 1

n

a lim 1 a

+ = .

Bài 2: Cho dãy số ( ) n x thỏa n n 1 n 2 1 2 n n 1

x .x x ,x x 0 2x x

+ +

+ =   − . Tính ( ) ( ) n 1 n lim n n x x + − .

Lời giải: Từ đề cho, đặt n

n

1 y x = ta suy ra công thức tổng quát cho n y và suy ra công

thức cho ( )

1 2 n

1 2 1 2

x .x x x x n 2x x = − + − và suy ra kết quả.

Bài 3: Cho dãy số ( ) n x thỏa 1 2 x ,x 0  và

n 1

n 1 n 2 n

n

4 x 2 2 x

+

+ + = + +

, tính n 1

n

x lim x

+ .

GVBS: Nguyễn Hoàng Vinh [TÀI LIỆU ÔN THI HSGQG 2021 – DÃY SỐ]

2 | N ă m h ọc 2 0 2 1 - 2 0 2 2

Lời giải: Đặt n n n x y

2 = và từ giả thiết suy ra n 2

n

1 1 y 1 y 2 + = + + . Từ đây cho ta

n 2 n n n

1 2 y 1 y 1 y 1 , n 1;2;3;... y 1 3 + − = −  − = + do n

1 y 2  với mọi giá trị n (dãy dương). Từ đây

suy ra n n n x lim y 1 lim 1 2 =  = và

n n 1 n 1 n 1 n n

x x 2 lim lim . .2 2 x x 2

+ + +   = =    

.

Bài 4: Cho hàm số : f D ⎯⎯→ , nghịch biến trên D và dãy ( ) nx xác định bởi ( ) 1 n n x f x + = và

thỏa điều kiện:

1/ 1 3 1 2 , x x x x   và ( ) 1 2 ; x x D 

2/ ( ) ( )

a f b

b f a

= = 

có nghiệm duy nhất a b l = = trên ( ) 1 2 ; x x .

Chứng minh dãy đã cho có giới hạn.

Lời giải:

Đầu tiên, ta chứng minh ( ) 1 2 ; , nx x x D n   . Thật vậy, có thể xét quy nạp không hoàn toàn như

sau

( ) 1 2 2 3 3 1 2 3 4 ; x x x x x x x x x        và ( ) 1 3 2 4 4 1 2 3 5 ; x x x x x x x x x        .

Từ đó, ta có 3 5 3 4 , x x x x   . Quá trình này tiếp diễn liên tục cho ta điều phải chứng minh.

Xét dãy ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 , n n n n x f f x x f f x − + − = = . Từ chứng minh trên ta có ( ) 2 1 n x − là dãy tăng và

( ) 2n x là dãy giảm. Đồng thời ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 2 1 2 ; , ; n n x x x x x x −   nên hai dãy đã cho hội tụ.

Đặt 2 2 1 lim , lim n n a x b x − = = . Lấy lim hai vế của ( ) 1 n n x f x + = ta có hệ

( ) ( )

a f b

b f a

= = 

Vậy, theo giả thiết, hệ có nghiệm duy nhất a b l = = nên lim nx l = .

Bài 5: Tìm giới hạn của dãy số ( ) nx biết

1 2 1 3 1 1 ( 1) 1 nx n n = + + + + − +

GVBS: Nguyễn Hoàng Vinh [TÀI LIỆU ÔN THI HSGQG 2021 – DÃY SỐ]

3 | N ă m h ọc 2 0 2 1 - 2 0 2 2

Lời giải:

Với1 1 m n   −, đặt 1 1 (1 ) 1 1 ( 1) 1 m a m m n n = + + + + + − + ta có

2 2 2 2 1 1

2 2

1

1 ( 1) 2

( 1) ( ( 2))

m m m m

m m

a ma a m ma m m

a m m a m

+ +

+

= + − + = − −

−



 − + = +

.

Suy ra

1 2

1 | | | ( 1) | | 2| | ( 1) | 2

m m m m m

m a a m a m a m a m m

+ +

+ − − +   − + + + + .

Từ đó 2 1 1 1 | 3| | | | 1 ( 1) 1 | 0 ( ) 1 1 n n n a a n n n n n n n − − − −  −  + − + − → → + +

Bài 6: Cho dãy 1 1 2 2

2 3 1, , 2 2

n n

n

u u u u u

+ +

+ = = = + .

a. Tính giới hạn của dãy đã cho.

b. Chứng minh

3

1 1 2 2 1 1 2

n

i i n n iu = + −   −−  , với mọi giá trị n nguyên dương lớn hơn 3.

Lời giải:

a.

Cách 1: Quy nạp kết quả n 1 3 u 2 2   và đánh giá

n 2 n n 1 n n 1 n n 1

1 1 2 2 u 1 u 1 u 1 . u 1 . u 1 u 2 u 2 5 5 + + + + −  − + −  − + − + +

Sử dụng bổ đề và suy ra kết quả.

Cách 2: Từ biến đổi n 2 n 1 n

n

1 u 1 u u . u 2 + + − = − + ta quy nạp 1 1 1 1 , 2 n u n n n −  +  ta có kết quả.

b. Thực hiện …