Tài liệu chủ đề phương pháp quy nạp toán học

Trang 1

CHỦ ĐỀ PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1) Để chứng minh một mệnh đề P(n) đúng với mọi n N* thì ta thực hiện theo các bước sau đây:

 Kiểm tra mệnh đề đúng với 1 n .

 Giả sử mệnh đề đã đúng với n k  ; đưa ra được biểu thức của  P k ; ta gọi là giả thiết quy nạp.

 Với giả thiết  P k đã đúng, ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với 1 n k  .

2) Để chứng minh một mệnh đề P(n) đúng với mọi n ≥ p; (p là số một số tự nhiên) thì ta thực hiện

như sau:

 Kiểm tra mệnh đề đúng với n p  .

 Giả sử mệnh đề đã đúng với n k  ; đưa ra được biểu thức của  P k ; ta gọi là giả thiết quy nạp.

 Với giả thiết  P k đã đúng, ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với 1 n k  .

II. HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Chứng minh các biểu thức sau đúng với mọi số tự nhiên n dương:

a)  1 1 2 3 ... 2 n n n      .

b)    2 2 2 2 1 2 1 1 2 3 ... 6 n n n n        .

Lời giải:

a)  1 1 2 3 ... 2 n n n      ,  1

+) Với 1 n  thì ta có  1.2 1 1 2   đúng.

+) Giả sử  1 đúng với n k  , khi đó ta có   1 1 2 3 ... 2 k k k     

+) Ta sẽ chứng minh 1 đúng với 1 n k  , tức là      1 2 1 2 3 ... 1 2 k k k k        

Thật vậy,        1 1 2 3 ... 1 1 2 3 ... 1 1 2 k k k k k k k               

       1 2 1 1 2 2 2 k k k k k       

Vậy biểu thức đã cho đúng với 1 n k  .

b)    2 2 2 2 1 2 1 1 2 3 ... 6 n n n n        ,  2

+) Với 1 n thì ta có  2 1.2.3 1 2 6   đúng.

+) Giả sử  2 đúng với n k  , khi đó ta có    2 2 2 2 1 2 1 1 2 3 ... 6 k k k k       

Trang 2

+) Ta sẽ chứng minh  2 đúng với 1 n k  , tức là

      2 2 2 2 2 1 2 2 3 1 2 3 ... 1 6          k k k k k

Thật vậy,      2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 ... 1 1 2 3 ... 1 k k k k              

         

2 2 1 2 1 1 2 1 6 1 1 6 6 k k k k k k k k          

             2 1 2 7 6 1 2 1 6 1 1 2 2 3 6 6 6

k k k k k k k k k k                 

Vậy biểu thức  2 đúng.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng:

a)     2 1.2 2.5 3.8 ... . 3 1 1        n n n n với mọi n dương.

b) 2 3 4 5 n n n    với mọi số tự nhiên 3 n  .

Lời giải:

a)     2 1.2 2.5 3.8 ... . 3 1 1        n n n n ,  1

+) Với 1 n thì ta có    2 1.2 1 1 1 1    đúng.

+) Giả sử  1 đúng với n k  , khi đó ta có     2 1.2 2.5 3.8 ... . 3 1 1        k k k k

+) Ta sẽ chứng minh 1 đúng với 1 n k  , tức là

       2 1.2 2.5 3.8 ... . 3 1 1 3 2 1 2            k k k k k k

Thật vậy,

         1.2 2.5 3.8 ... . 3 1 1 3 2 1.2 2.5 3.8 ... . 3 1 1 3 2                      k k k k k k k k

              2 2 2 1 1 3 2 1 3 2 1 1 2 1 2 k k k k k k k k k k k k                

Vậy biểu thức đã cho đúng với 1 n k  .

b) 2 3 4 5 n n n    ,  2

+) Với 3 n  thì ta có  3 2 3 3 4.3 5 27 26 2       đúng.

+) Giả sử  2 đúng với n k  , khi đó ta có 2 3 4 5 k k k   

+) Ta sẽ chứng minh 1 đúng với 1 n k   tức là     2 1 3 1 4 1 5 k k k     

Thật vậy,       1 2 2 2 2 3 3 .3 3 4 5 3 12 15 2 1 4 1 5 2 6 5 k k k k k k k k k k k                

        2 2 2 1 4 1 5 2 6 5 1 4 1 5 k k k k k k              do 2 6 5 0 k k    .k 

Do đó ta được     2 1 3 1 4 1 5. k k k     

Vậy  2 đúng.