Tài liệu chủ đề dãy số

Trang 1

CHỦ ĐỀ DÃY SỐ

I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1) Định nghĩa dãy số

Mỗi hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương *  được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là

dãy số). Kí hiệu:



: u

n u n

  



Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển 1 2 3 , , ,..., ,..., n u u u u , trong đó  n u u n  hoặc viết tắt là

  nu , và gọi 1u là số hạng đầu, n u là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số.

2) Định nghĩa dãy số hữu hạn

Mỗi hàm số u xác định trên tập } 1,2,3 . { ,. ., M m  với * m được gọi là một dãy số hữu hạn.

3) Dãy số tăng và dãy số giảm

+) Dãy số   nu được gọi là tăng nếu 1 , * n n u u n   .

+) Dãy số   n u được gọi là giảm nếu 1 , * n n u u n  

4) Dãy số bị chặn

+) Dãy số   nu được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho , * n u M n  .

+) Dãy số   nu được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho , * n u m n  

+) Dãy số   nu được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại hai số M, m

sao cho , * n m u M n   .

 Các dấu " =" nêu trên không nhất thiết phải xảy ra.

II. PHÂN DẠNG TOÁN VÀ HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA

 Dạng 1. Xác định dãy số

Ví dụ 1. Viết 5 số hạng đầu tiên của dãy số. Dự đoán công thức nu và chứng minh công thức đó bằng

phương pháp quy nạp?

a)

1

1

1

2 1; 1 n n

u

u u n n 

       

b)

1

1

1

3; 1 n n

u

u u n 

      

Lời giải:

a)

1

1 2 1 3 2 4 3 5 4 1

1 1; 3 4; 5 9; 7 16; 9 25 2 1 n n

u u u u u u u u u u u u n 

                    

Từ đó ta có thể nhận thấy 2; 1 n u n n  ,

Trang 2

Ta chứng minh  * bằng quy nạp.

+) Với 1 n  ta có 1 1 u , vậy  * đúng.

+) Giả sử  * với n k  , tức là 2, 1 ku k k  .

+) Ta cần chứng minh  * với 1 n k  , tức là  

2 1 1 ; 0 ku k k   

Thật vậy  2 2 1 2 1 2 1 ( 1) * k k u u k k k k        đúng.

Vậy 2; 1 n u n n  .

b)

1

1 2 1 3 2 4 3 5 4 1

1 1; 3 2; 3 5; 3 8; 3 11 3 n n

u u u u u u u u u u u u 

                   

Từ đó ta có thể nhận thấy 3 4, n u n    *

Ta chứng minh  * bằng quy nạp.

+) Với 1 n  ta có 1 1 u , vậy  * đúng với 1 n .

+) Giả sử  * với n k  , tức là 3 4 ku k   .

+) Ta cần chứng minh  * đúng với 1 n k  , tức là   1 3 1 4 ku k   

Thật vậy  1 3 3 4 3 3 1 3( 1) 4 * k k u u k k k           đúng.

Vậy 3 4 n u n   .

Ví dụ 2. Cho dãy số

1

2 1

3

1 ; 1 n n

u

u u n 

     

. Viết 5 số hạng đầu tiên của dãy số.

Dự đoán công thức n u và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp?

Lời giải:

Từ giả thiết ta có:

1

2 2 2 1 1 2 1 3 2

3

1 3 9; 1 10; 1 11

n n

u

u u u u u u u 

             

2 2 4 3 5 4 1 12; 1 13 u u u u       . Ta nhận thấy 8 n u n   ,  *

Ta chứng minh  * bằng quy nạp.

+) Với 1 n  ta có 1 3 u  , vậy  * đúng với 1 n .

+) Giả sử  * đúng với n k  , tức là 8 ku k   .

+) Ta cần chứng minh  * đúng với 1 n k  , tức là   1 1 8 9 ku k k     

Thật vậy  2 1 1 1 8 9 * k k u u k k         đúng.

Vậy 8 n u n   .