Tài liệu chủ đề cấp số cộng

Trang 1

CHỦ ĐỀ CẤP SỐ CỘNG

I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1) Định nghĩa

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng

số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d. Khi đó, số d được gọi là công sai của cấp số

cộng.

2) Số hạng tổng quát

Nếu cấp số cộng   nu có số hạng đầu 1u và công sai d thì số hạng tổng quát n u được xác định bởi công

thức   1 1 n u u n d    với 2 n  .

3) Tính chất các số hạng của cấp số cộng

Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng

đứng kề với nó, nghĩa là 1 1 2

k k k

u u u     với 2 k  .

Chú ý: a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì 2 a c b   .

4) Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

Cho cấp số cộng   n u . Đặt 1 2 3 ... n n S u u u u      . Khi đó   1

2

n n

n u u S   .

Chú ý: Vì   1 1 n u u n d    nên công thức trên có thể viết lại là  

1

1 2 n

n n S nu d    .

Chứng minh: Gọi 1 2 3 , , ,..., n u u u u lần lượt là các số hạng của cấp số cộng. Ta có

    

2 3 1

1 1 1 1 1 2 ... 2 1

n n

n

u u u u S u u d u d u n d u n d



               

    

2 3 1

1 1 1 1 1 1 2 ... 2

n n

n

u u u u S u n d u n d u d u d u



               

        1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 ... 2 1 n S u n d u n d u n d u n d                             

Do đó     1 1 2 2 1 2 1 2 n n

n S n u n d S u n d               .

II. PHÂN DẠNG TOÁN VÀ HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA

Dạng 1. Bài toán liên quan đến tính chất của cấp số cộng

Ví dụ 1. Tính số hạng đầu 1u và công sai d của một cấp số cộng biết

a)

4

7

10

19

u

u

    

b)

3

14

15

18

u

u

    

Lời giải:

Trang 2

a) Ta có

4 1

1 7 1

10 3 10 3

1 19 6 19

u u d d

u u u d

                  

b) Ta có

3 1

1 1 14

15 2 15 3

21 13 18 18

u u d d

u d u

                   u

Ví dụ 2. Tính số hạng đầu 1u và công sai d của một cấp số cộng biết

a)

1 3 5

1 6

10

17

u u u

u u

       

b)

1 5 3

1 6

10

7

u u u

u u

       

Lời giải:

a)   1 3 5 1 1 1 1 1

1 6 1 1 1

10 2 4 10 2 10 16

17 2 5 17 3 5 17

u u u u d u d u d u

u u u d d u u d

                                   

u

b)   1 5 3 1 1 1 1 1

1 6 1 1 1

10 4 2 10 2 10 36

7 2 5 7 13 5 7

u u u u u d u d u d u

u u u d d u u d

                                   

Ví dụ 3. Tính số hạng đầu 1u và công sai d của một cấp số cộng biết

a)

7 15

2 2 4 12

60

1170

u u

u u

      

b)

1 2 3

2 2 2 1 2 3

27

275

u u u

u u u

       

Lời giải:

a)

       

1 1 1 7 15

2 2 2 2 2 2 4 12 1 1

6 14 60 30 10 60

1170 3 11 1170 30 7 30 1170

u d u d u d u u

u u u d u d d d

                                

1

1 1

2

1 1

30 10

4,2 30 10 12; 4,2

0; 3 1800 50 360 1170 30 10

3

u d

d u d u d

u d d d u d

d

                                  

b)

   

2 2 1 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 2 2 2 2

2 27 27 9

275 3 2 275 275

u u u u u u

u u u u d u d u d u

                              

2

1

1 2

9

4 5; 4

13; 4 9

4

u

d u d

u d u

d

                      

Ví dụ 3. Cho dãy số   n u với 11 10 n u n   .

a) Viết 5 số hạng đầu của dãy.

b) Chứng minh dãy số   nu là cấp số cộng. Chỉ rõ 1u và d.

Lời giải:

a) 5 số hạng đầu của dãy là 1, 9,19, 29, 39    .