Tài liệu chủ đề cấp số nhân

Trang 1

CHỦ ĐỀ CẤP SỐ NHÂN

I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1) Định nghĩa

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng đều bằng số

hạng đứng ngay trước nó nhân với một số không đổi q. Khi đó, q được gọi là công bội của cấp số nhân.

Tức là 2 3 2 1 3 2 1 4 3 1 . ; . . ; . . ... u q u u q u q u u q u q u     

2) Số hạng tổng quát

Nếu cấp số nhân   n u có số hạng đầu 1u và công bội q thì số hạng tổng quát n u được xác định bởi công

thức

1

1 . n n u q u   với 2 n 

3) Tính chất các số hạng của cấp số nhân

Trong một số cấp số nhân, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình nhân của hai số hạng

đứng kề với nó, nghĩa là 1 1 . k k k u u u    hay 2

1 1 . k k k u u u   

Chú ý: a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân thì 2 ac b 

4) Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân

Cho cấp số nhân (un). Đặt n 1 2 3 n S u u u ... u      . Khi đó

n

n 1 q 1 S .u q 1   

II. HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1. Cho cấp số nhân   n u với 1

1 3, 2 u q   . Tính 5u

A. 5

3 32 u  B. 5

3 16 u  C. 5

3 10 u  D. 5

15

2 u 

Lời giải:

Ta có

4 5 1 5 1

1 3 . 3. 2 16 u u q          

. Chọn B

Ví dụ 2. Cho cấp số nhân   n u với 1

1 3, 2 u q   . Hỏi 3

512 là số hạng thứ mấy

A. 11 B. 9 C. 10 D. 12

Lời giải:

Ta có

1 1 1 1 3 1 1 1 . 3. 512 2 2 512

n n n n u u q

 

           

1 2 512 1 9 10        n n n

Trang 2

Do đó 3

512 là số hạng thứ 10. Chọn C

Ví dụ 3. Cho cấp số nhân   n u với 1 6

3 3, 32 u u   . Tìm với q

A. 2 q  B. 4 q  C. 1 4 q  D. 1 2 q 

Lời giải:

Ta có

6 1 5 6 1

3 1 . 3 32 2 u u q q q       . Chọn D

Ví dụ 4. Cho cấp số nhân   n u với 1 4

3 3, 8 u u   . Tính 7 u

A. 7

3 4096 u  B. 7

3 128 u  C. 7

1 243 u  D. 7

3 64 u 

Lời giải:

Ta có

6 4 1 3 7 1 4 1 7 1 3 1 1 3 . 3 . 3. 8 2 2 64 u u q q q u u q                 

. Chọn D

Ví dụ 5. Cho cấp số nhân   n u với 5 1

8 3, 8 u u u   . Tính 12 u

A. 12

3 2048 u  B. 12

3 1024 u  C. 12 6144 u  D. 12 3072 u 

Lời giải:

Ta có

5 1

12 1 5 1

12 1 8 1 3 8 1

. 1 1 3 8 . . 2 2048 u u q q u u q u u q q



          . Chọn A

Ví dụ 6. Cho cấp số nhân   n u với 1 5 8

9 3, 2048 u u u   . Tính 12 u

A. 12

3 2048 u  B. 12

3 1024 u  C. 12 6144 u  D. 12 3072 u 

Lời giải:

Ta có    5 1 8 1 11 12 1 5 8 1 1 12 1 9 1 3 . . 9 . 2048 2 2048 u u u q u q q q u u q            . Chọn A

Ví dụ 7. Cho cấp số nhân   n u với 1 8 5 4, 157464 u u u   . Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?

A. 4 6 q   B. 4 q  C. 6 8 q   D. 8 q 

Lời giải:

Ta có 8 1 5 1 9 8 5 1 1 . . 8 157464 3 u u u q u q q q        . Chọn B

Trang 3

Ví dụ 8. Cho cấp số nhân   n u với 3 4

5 5

4 ; 0, 0 9 u u u q u

    . Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?

A. 4 6 q   B. 4 q  C. 6 8 q   D. 8 q 

Lời giải:

Ta có

3 1 4 1 3 4 1 1 5 1 2 5 1

1 4 3 9 u u u q u q q q u u q q

 

         thỏa mãn. Chọn B

Ví dụ 9. Cho cấp số nhân   n u với 1 2 4 4, 2952 u u u    . Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?

A. 4 6 q   B. 4 q  C. 6 8 q   D. 8 q 

Lời giải:

Ta có   2 1 4 1 3 2 4 1 1 . . 4 2952 9 u u u q u q q q q           . Chọn D

Ví dụ 10. Cho cấp số nhân   n u với 3 2 4 16, 40 u u u    . Tính 6u , biết q < 1

A. 6 8 u  B. 6 128 u  C. 6 2 u  D. 6 32 u 

Lời giải:

Ta có  

2 2

1 3 1

3 3

1 2 4 1 1

. 16 . 16

. 40 . . 40

u q u u q

u q q u u u q u q

                  

2

3 2

2 16 2 1 1 40 1 5 2 2

q q q q q q q q

              

thỏa mãn

5 1 1 6 1 1 . 16 64 . 2 4 u u u u q        . Chọn C

Ví dụ 11. Cho cấp số nhân   n u với 1 2, 4 u q   . Tính tổng của 5 số hạng đầu tiên

A. 1023

2 B. 1364 C. 341

2 D. 682

Lời giải:

Ta có   5 1 5

1

682 1

u q S q

    . Chọn D

Ví dụ 12. Cho cấp số nhân   n u với 1 4 2, 54 u u   . Tính tổng của 10 số hạng đầu tiên

A. 2046 B. 29524 C. 4092 D. 59048

Lời giải:

Ta có   10 …