Bài giảng phương pháp quy nạp toán học, dãy số

Trang 1

DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

BÀI GIẢNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC. DÃY SỐ

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Biết được thứ tự các bước giải toán bằng phương pháp quy nạp.

+ Biết khái niệm dãy số, cách cho dãy số, tính chất đơn điệu và bị chặn của dãy số.

+ Nắm được phương pháp giải các dạng bài tập của dãy số như tìm số hạng tổng quát, xét tính

tăng, giảm và bị chặn.

 Kĩ năng

+ Chứng minh được các bài toán bằng phương pháp quy nạp toán học.

+ Biết cách xác định dãy số.

+ Xét được tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số.

+ Tính được tổng của một dãy số.

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Phương pháp quy nạp toán học

Để chứng minh mệnh đề A(n) đúng với mọi giá trị nguyên

dương n, ta thực hiện như sau:

 Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.

 Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương

n = k tùy ý   1 k  , chứng minh rằng mệnh đề đúng với

1 n k  .

Dãy số

a) Mỗi hàm số u xác định trên tập số tự nhiên *  được gọi là

một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số).

Kí hiệu: 

* :

.

u

n u n

  



Dạng khai triển: 1 2 3 ; ; ;...; ;... n u u u u

Trong đó ta gọi: u1 là số hạng đầu, un = u(n) là số hạng thứ n

hay số hạng tổng quát của dãy số.

b) Mỗi hàm số u xác định trên tập   1;2;3;...; M m  với

* m

c) Các cách cho một dãy số:

Cách 1: Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát.

Cách 2: Cho dãy số bởi hệ thức truy hồi (hay quy nạp):

Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n)

đúng với mọi số nguyên dương  n p thì:

+) Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với

n = p.

+) Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số

nguyên dương bất kì   n k p và phải chứng

minh mệnh đề đúng với 1 n k  

Ví dụ 1: Cho dãy (un) với 2 3 1 n u n n   

Ví dụ 2: Cho dãy số (un) xác định bởi

TOANMATH.com Trang 2

 Cho số hạng thứ nhất u1 (hoặc một vài số hạng đầu).

 Với 2 n  , cho một công thức tính uk nếu biết uk-1

(hoặc vài số hạng đứng ngay trước nó).

Cách 3: Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy

số.

Dãy số tăng, dãy số giảm

a) Dãy số (un) được gọi là tăng nếu 1 n n u u  với mọi * n

* 1 0, n n u u n      hay   * 1 1, 0 n n n

u n u u

   

b) Dãy số (un) được gọi là giảm nếu 1 n n u u  với mọi * n

* 1 0, n n u u n      hay   * 1 1, 0 n n n

u n u u

   

Dãy số bị chặn

a) Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho

* , nu M n  .

b) Dãy số (un) được gọi bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho

* , nu m n  

c) Dãy số (un) được gọi bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị

chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho

* , n m u M n   .

1

3 1

1 1 2 n n

u n u u n 

      

Ví dụ 3: Cho đường tròn (O) bán kính R. Cho

dãy (un) với un là độ dài cung tròn có số đo là

2 n của đường tròn (O).

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1:Quy nạp toán học

Phương pháp giải

Để chứng minh một mệnh đề P(n) phụ thuộc vào số

tự nhiên n đúng với mọi ( o o n n n  là só tự nhiên

cho trước), ta thực hiện theo các bước sau

Bước 1: Kiểm tra P(n) đúng với o n n 

Bước 2: Giả sử P(n) đúng khi   o n k k n   (xem

đây là giả thiết để chứng minh bước 3).

Bước 3: Ta cần chứng minh P(n) đúng khi

1 n k  

Ví dụ: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên

2 n  , ta luôn có 1 2 2 3 (*) n n  

Hướng dẫn giải:

Với n = 2 ta có 2 1 2 2.2 3 8 7     (đúng). Vậy

(*) đúng với n = 2.

Giả sử với , 2 n k k   thì (*) đúng, có nghĩa ta có

1 2 2 3 (1) k k  

Ta phải chứng minh (*) đúng với n = k + 1, có

nghĩa ta phải chứng minh 2 2 2( 1) 3 k k   

Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2 ta được