Bài giảng cấp số cộng

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ

BÀI GIẢNG CẤP SỐ CỘNG

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Hiểu được khái niệm cấp số cộng.

+ Nắm được công thức tổng quát, tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng.

+ Biết được số hạng đầu và công sai của cấp số cộng.

 Kĩ năng

+ Tìm được các yếu tố còn lại khi biết 3 trong 5 yếu tố: số hạng đầu, số hạng thứ k, công sai, số

số hạng, tổng n số hạng đầu của cấp số cộng.

+ Liên hệ được kiến thức về cấp số cộng để giải những bài toán thực tế.

TOANMATH.com Trang 2

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Định nghĩa

Cấp số cộng là một dãy số (vô hạn hay hữu hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều

bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số d không đổi, nghĩa là

  n u là cấp số cộng 1 2, . n n n u u d    

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

Định lí 1

Nếu   n u là một cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng

hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là 1 1 . 2

k k k u u u    

Hệ quả: Ba số a, b, c (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi a + c = 2b.

Định lí 2

Nếu một cấp số cộng có số hạng đầu 1u và công sai d thì số hạng tổng quát nu của nó được xác định bởi

công thức sau:   1 1 n u u n d    .

Định lí 3

Giả sử   n u là một cấp số cộng có công sai d.

Gọi 1 2 1 ...

n

n k n k S u u u u

      

( n S là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng).

Ta có     1 1 2 1 . 2 2

n n n u n d n u u S         

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

1 n n u u d   

  2 n 

Nhận diện cấp số cộng

là hằng số

Số hạng tổng quát

Tổng n số hạng đầu tiên

Số hạng thứ k

Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi

CẤP SỐ CỘNG

Hệ quả

TOANMATH.com Trang 3

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Nhận dạng một dãy số là cấp số cộng

Phương pháp giải

Sử dụng định nghĩa   n u là một cấp số cộng khi và chỉ khi 1 , n n u u d   với d là một hằng số.

Để chứng minh dãy số   n u là một cấp số cộng, ta xét 1 n n d u u   

 Nếu d là hằng số thì   n u là một cấp số cộng với công sai d.

 Nếu d phụ thuộc vào n thì   n u không là cấp số cộng.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Chứng minh các dãy số sau là cấp số cộng.

a) Dãy số   n u với 2020 2021. n u n  

b) Dãy số   n u với 2 5. n u n  

Hướng dẫn giải

a) Dãy số   n u với 2020 2021. nu n  

Ta có     1 2020 1 2021 2020 2021 2020. n n u u n n       

Vậy   n u là một cấp số cộng với công sai 2020. d 

b) Dãy số   n u với 2 5. n u n  

Ta có     1 2 1 5 2 5 2. n n u u n n       

Vậy   n u là một cấp số cộng với công sai 2. d 

Ví dụ 2. Chứng minh các dãy số sau không phải là cấp số cộng.

a) Dãy số   n u với 2 1. n u n n   

b) Dãy số   n u với   1 3 . n n u n  

Hướng dẫn giải

a) Dãy số   n u với 2 1. n u n n   

Ta có       2 2 1 1 1 1 1 2 2 n n u u n n n n n           phụ thuộc vào n.

Vậy   n u không là cấp số cộng.

b) Dãy số   n u với   1 3 . n n u n  

Ta có             1 1 1 3 1 1 3 1 3 1 3 2 1 n n n n n n n u u n n                   phụ thuộc vào n.