Bài giảng cấp số nhân

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ

BÀI GIẢNG CẤP SỐ NHÂN

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm vững khái niệm cấp số nhân

+ Nắm được tính chất 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân

+ Nắm được công thức tổng quát, công thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân

 Kĩ năng

+ Nhận biết được một cấp số nhân dựa vào định nghĩa

+ Tìm được yếu tố còn lại khi biết 3 trong 5 yếu tố: số hạng đầu, số hạng thứ k, tổng n số hạng

đầu tiên, công bội, số số hạng của cấp số nhân

+ Áp dụng tính chất cấp số nhân vào các bài toán giải phương trình, chứng minh đẳng thức, bất

đẳng thức

+ ứng dụng vào các bài toán thực tế

TOANMATH.com Trang 2

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Định nghĩa

Cấp số nhân là một dãy sô (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích

của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân

Nếu   n u là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi 1 . n n u u q  với * n

Đặc biệt:

 Khi 0 q  , cấp số nhân có dạng 1,0,0,...,0,... u

 Khi 1 q , cấp số nhân có dạng 1 1 1 1 , , ,..., ,... u u u u

 Khi 1 0 u  thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0,0,0,...,0,...

Số hạng tổng quát

Định lí 1. Nếu cấp số nhân có số hạng đầu 1u và công bội q thì số hạng tổng quát nu được xác định bởi

công thức

1 1. n nu u q   với 2 n 

Tính chất

Định lí 2. Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của

hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

2 1 1 . k k k u u u    với 2 k 

Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân

Định lí 3. Cho cấp số nhân   n u với công bội 1 q 

Đặt 1 2 ... n n S u u u     . Khi đó   1 1

1

n

n u q S q

  

Chú ý: Nếu 1 q thì cấp số nhân là 1 1 1 1 , , ,..., ,... u u u u khi đó 1 n S nu 

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

TOANMATH.com Trang 3

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Chứng minh một dãy   n u là cấp số nhân

Phương pháp giải

Chứng minh 1 . , 1 n n u u q n   trong đó q là một số không đổi

Nếu * 0, nu n   thì ta lập tỉ số 1 n

n

u k u



* k là hằng số thì   n u là cấp số nhân có công bội q k 

* k phụ thuộc vào n thì   nu không là cấp số nhân

Để chứng minh dãy   n u không phải là cấp số nhân, ta chỉ cần chỉ ra ba số hạng liên tiếp không

tạo thành cấp số nhân, chẳng hạn 3 2

2 1

u u u u 

Để chứng minh a, b, c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân, ta chứng minh 2 ac b  hoặc b ac 

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Xét trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân? Tìm công bội của cấp số nhân đó

a)   2 1 4 n nu   b)   3 1 7 .5 n n nu  

Hướng dẫn giải

CẤP SỐ NHÂN

1. n n u u q  

Số hạng tổng quát

1 1. n n u u q  

  2 n 

Số hạng thứ k

2 1 1 . k k k u u u   

  2 k 

Tổng n số hạng đầu tiên

1 n S nu  khi 1 q 

  1 1

1

n

n u q S q

   khi 1 q 

TOANMATH.com Trang 4

a) Ta có    

 

2 3 2 1 2 1 4 4 16 4

n

n n n

u u



       là số không đổi nên   n u là cấp số nhân với công bội q = 16

b) Ta có    

 

1 3 1 1 3 1 3 1 7 .5 7.5 875 7 .5

n n n n n n

u u

          không đổi nên   nu là cấp số nhân với công bội

875 q 

Ví dụ 2. Xét trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân? Tìm công bội của cấp số nhân đó

a)

1

1

3 9

n n

u

u u 

    

b) 1 2 1

2

n n

u

u u 

    

Hướng dẫn giải

Ta có 1 1 1 1

1

9

, 2 9

n n n n n n n

n

u u u u u n u u u

   



    

Do đó có 1 3 5 2 1

2 4 6 2

... ... ... ...

n

n

u u u u u u u u

              

1 2

Theo đề bài ta có 1 2 1

9 3 3 u u u     (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra 1 2 3 4 5 2 2 1 ... ... n n u u u u u u u        

Do đó   nu là cấp số nhân với công bội q = 1

b) Ta có 2 2 2 2 1 3 2 4 3 4, 16, 256 u u u u u u      

suy ra 2

1

4 2 2 u u   và 4 2 4

3 1 3

256 16 16 u u u u u u    

Do đó   n u không là cấp số nhân

Ví dụ 3. Cho   nu là cấp số nhân có công bội 1 0; 0 q u   . Chứng minh rằng dãy số   nv với

2 . n n n v u u  cũng là một cấp số nhân

Hướng dẫn …