Chuyên đề dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân Toán 11 Cánh Diều

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

Page 1 Sưu tầm và biên soạn

BÀI 1: DÃY SỐ

I. KHÁI NIỆM

Mỗi hàm số u :{ } 1,2,3,...,m → ( * m∈) được gọi là một dãy số hữu hạn.

Do mỗi số nguyên dương ( ) 1 k k m ≤ ≤ tương ứng với đúng một số ku nên ta có thể viết dãy số

đó dưới dạng khai triển: 1 2 3 , , , ..., , m u u u u trong đó 1u là số hạng đầu, m u là số hạng cuối của

dãy số đó.

Mỗi hàm số u : * →   được gọi là một dãy số vô hạn.

Do mỗi số nguyên dương n tương ứng với đúng một số nu nên ta có thể viết dãy số đó dưới

dạng khai triển: 1 2 3 , , , ..., ,... n u u u u

Dãy số đó còn được viết tắt là ( ) nu .

Số 1u gọi là số hạng đầu, 2u gọi là số hạng thứ 2, … ( ) nu u n = là số hạng thứ n (hay số hạng

tổng quát) của dãy số.

Nếu * , n u C n = ∀∈thì ta nói ( ) nu là dãy số không đổi.

II. CÁCH XÁC ĐỊNH DÃY SỐ

Thông thường một dãy số có thể được cho bằng các cách sau:

a) Dãy số cho bằng liệt kê các số hạng

b) Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số đó.

c) Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát

d) Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi

Cách cho một dãy số bằng phương pháp truy hồi, tức là:

Cho số hạng đầu.

Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng đứng trước nó.

CHƯƠNG

II

DÃY SỐ

CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

LÝ THUYẾT. I

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

Page 2 Sưu tầm và biên soạn

III. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN

Dãy số   n u được gọi là dãy số tăng nếu ta có 1 n n u u  với mọi *. n 

Dãy số   n u được gọi là dãy số giảm nếu ta có 1 n n u u  với mọi *. n 

Chú ý: Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm. Chẳng hạn, dãy số   n u với   3 n n u  tức là

dãy 3,9, 27,81,...   không tăng cũng không giảm.

IV. DÃY SỐ BỊ CHẶN

Dãy số   n u được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho

* , . n u M n  

Dãy số   n u được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho

* , . nu m n  

Dãy số   n u được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số

, m M sao cho

* , . n m u M n   

Lưu y: + Dãy tăng sẽ bị chặn dưới bởi 1u

+ Dãy giảm sẽ bị chặn trên bởi 1u

DẠNG 1: TÌM SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ

Bài toán 1: Cho dãy số ( ) nu : ( ) nu f n = . Hãy tìm số hạng ku .

Tự luận: Thay trực tiếp n k = vào n u .

MTCT: Dùng chức năng CALC:

Nhập: ( ) f x

Bấm r nhập X k =

Bấm = → Kết quả

HỆ THỐNG BÀI TẬP. II

PHƯƠNG PHÁP. 1

BÀI TẬP TỰ LUẬN. 2

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

Page 3 Sưu tầm và biên soạn

Câu 1: Cho dãy số ( ) nu biết 1 1 5 1 5 2 2 5

n n

n u       + −   = −                

. Tìm số hạng 6 u .

Câu 2: Cho dãy số ( ) n u có số hạng tổng quát 2 1 2 n n u n + = + . Số 167 84 là số hạng thứ mấy?

Bài toán 2: Cho dãy số ( ) nu cho bởi

1

1 ( ) n n

u a

u f u +

=   = 

. Hãy tìm số hạng ku .

Tự luận: Tính lần lượt 2 3 ; ;...; k u u u bằng cách thế 1u vào 2 u , thế 2 u vào 3 u , …, thế 1 k u − vào

1 k u + .

MTCT: Cách lập quy trình bấm máy:

- Nhập giá trị của số hạng u1: a =

- Nhập biểu thức của ( ) 1 n n u f u + =

- Lặp dấu = lần thứ 1 k − cho ra giá trị của số hạng ku .

Câu 3: Cho dãy số ( ) nu biết

1

1

1 2 1

n n n

u u u u +

=  +  =  + 

. Tìm số hạng 10 u .

Câu 4: Cho dãy số ( ) nu được xác định như sau:

1

1

1

2 n n

u

u u +

=   = + 

. Tìm số hạng 50 u .

Bài toán 3: Cho dãy số ( ) nu cho bởi

1 2

2 1

,

. . n n n

u a u b

u c u d u e + +

= =   = + + 

. Hãy tìm số hạng ku .

Tự luận: Tính lần lượt 3 4 ; ;...; k u u u bằng cách thế 1 2 , u u vào 3 u ; thế 2 3 , u u vào 4 u ; …; thế

2 1 , k k u u − − vào ku .

MTCT: Cách lập quy trình bấm máy:

- Nhập C .B .A : A B: B C c d e = + + = =

- Bấm r nhập B b = , ấn =, nhập A a = ấn =

- Lặp dấu = cho đến khi xuất hiện lần thứ 2 k − giá trị của C thì đó chính là giá trị của số hạng

ku .

PHƯƠNG PHÁP. 1

BÀI TẬP TỰ LUẬN. 2

PHƯƠNG PHÁP. 1