Chuyên đề dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân Toán 11 KNTTvCS

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

Page 1 Sưu tầm và biên soạn

BÀI 5: DÃY SỐ

1. ĐỊNH NGHĨA DÃY SỐ

Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương *  được gọi là một dãy số vô hạn.

Kí hiệu:

( )

* :

.

u

n u n

→  



Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển

1 2 3 , , , ..., , ..., n u u u u

trong đó  nu u n  hoặc viết tắt là  , nu và gọi 1u là số hạng đầu, n u là số hạng thứ n và là số

hạng tổng quát của dãy số.

Chú ý: Nếu *, n n u c ∀∈ =  thì n u là dãy số không đổi.

Mỗi hàm số u xác định trên tập   1,2,3,..., M m  với * m  được gọi là một dãy số hữu hạn.

Dạng khai triển của nó là 1 2 3 , , , ..., , n u u u u trong đó 1u là số hạng đầu, m u là số hạng cuối.

2. CÁC CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ

a) Dãy số cho bằng liệt kê các số hạng

b) Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát

c) Dãy số cho bằng phương pháp mô tả

d) Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi

Cách cho một dãy số bằng phương pháp truy hồi, tức là:

Cho số hạng đầu.

Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng đứng trước nó.

3. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN

Dãy số   n u được gọi là dãy số tăng nếu ta có 1 n n u u  với mọi *. n 

Dãy số   n u được gọi là dãy số giảm nếu ta có 1 n n u u  với mọi *. n 

CHƯƠNG

II

DÃY SỐ

CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

Page 2 Sưu tầm và biên soạn

Chú ý: Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm. Chẳng hạn, dãy số   nu với   3 n n u  tức là

dãy 3,9, 27,81,...   không tăng cũng không giảm.

Dãy số   n u được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho

* , . n u M n  

Dãy số   n u được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho

* , . nu m n  

Dãy số   n u được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số

, m M sao cho

* , . n m u M n   

Lưu y: + Dãy tăng sẽ bị chặn dưới bởi 1u

+ Dãy giảm sẽ bị chặn trên bởi 1u

DẠNG 1: TÌM SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ

Bài toán 1: Cho dãy số ( ) nu : ( ) nu f n = . Hãy tìm số hạng ku .

Tự luận: Thay trực tiếp n k = vào n u .

MTCT: Dùng chức năng CALC:

Nhập: ( ) f x

Bấm r nhập X k =

Bấm = → Kết quả

Câu 1: Cho dãy số ( ) nu biết 1 1 5 1 5 2 2 5

n n

n u       + −   = −                

. Tìm số hạng 6 u .

Câu 2: Cho dãy số ( ) n u có số hạng tổng quát 2 1 2 n n u n + = + . Số 167 84 là số hạng thứ mấy?

Bài toán 2: Cho dãy số ( ) nu cho bởi

1

1 ( ) n n

u a

u f u +

=   = 

. Hãy tìm số hạng ku .

HỆ THỐNG BÀI TẬP. II

PHƯƠNG PHÁP. 1

BÀI TẬP TỰ LUẬN. 2

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

Page 3 Sưu tầm và biên soạn

Tự luận: Tính lần lượt 2 3 ; ;...; k u u u bằng cách thế 1u vào 2 u , thế 2 u vào 3 u , …, thế 1 k u − vào

1 k u + .

MTCT: Cách lập quy trình bấm máy:

- Nhập giá trị của số hạng u1: a =

- Nhập biểu thức của ( ) 1 n n u f u + =

- Lặp dấu = lần thứ 1 k − cho ra giá trị của số hạng ku .

Câu 3: Cho dãy số ( ) nu biết

1

1

1 2 1

n n n

u u u u +

=  +  =  + 

. Tìm số hạng 10 u .

Câu 4: Cho dãy số ( ) nu được xác định như sau:

1

1

1

2 n n

u

u u +

=   = + 

. Tìm số hạng 50 u .

Bài toán 3: Cho dãy số ( ) nu cho bởi

1 2

2 1

,

. . n n n

u a u b

u c u d u e + +

= =   = + + 

. Hãy tìm số hạng ku .

Tự luận: Tính lần lượt 3 4 ; ;...; k u u u bằng cách thế 1 2 , u u vào 3 u ; thế 2 3 , u u vào 4 u ; …; thế

2 1 , k k u u − − vào ku .

MTCT: Cách lập quy trình bấm máy:

- Nhập C .B .A : A B: B C c d e = + + = =

- Bấm r nhập B b = , ấn =, nhập A a = ấn =

- Lặp dấu = cho đến khi xuất hiện lần thứ 2 k − giá trị của C thì đó chính là giá trị của số hạng

ku .

Câu 5: Cho dãy số ( ) nu được xác định như sau:

1 2

2 1

1; 2

2 3 5 n n n

u u

u u u + +

= =   = + + 

. Tìm số hạng 8u .

PHƯƠNG PHÁP. 1

BÀI TẬP TỰ LUẬN. 2

PHƯƠNG PHÁP. 1

BÀI TẬP TỰ LUẬN. 2