Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi, Olympic chuyên đề dãy số

TỔ TOÁN

TRƯỜNG THPT TÂY NINH

9-9-2020

Biên soạn: NGUYỄN THANH TÂM

Email: thanhtamstn@gmail.com

Tel: 0986318518

TÀI LIỆU

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI, OLYMPIC

CHUYÊN ĐỀ: DÃY SỐ

Chuyên đề : Dãy số và giới hạn của dãy số - Bồi dưỡng học sinh giỏi, Olympic 2020

GV: Nguyễn Thanh Tâm – Trường THPT Tây Ninh Trang 1

NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ

- Phương pháp tìm số hạng của dãy số cho bởi một hệ thức truy hồi tuyến

tính.

- Liên phân số.

- Sai phân.

- Các phương pháp tìm số hạng của dãy số.

- Các khái niệm dãy con, dãy tuần hoàn và chu kì.

- Mối liên hệ giữa tính hội tụ của dãy số và dãy con.

- Tìm giới hạn của dãy số.

- Các bài toán thường gặp về dãy số.

Chuyên đề : Dãy số và giới hạn của dãy số - Bồi dưỡng học sinh giỏi, Olympic 2020

GV: Nguyễn Thanh Tâm – Trường THPT Tây Ninh Trang 2

PHẦN I XÁC ĐỊNH DÃY SỐ A. XÁC ĐỊNH DÃY SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP, PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN.

1. Xác định dãy số bằng phương pháp quy nạp.

Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi số nguyên dương n ( bằng phương pháp quy nạp), ta thực hiện theo các bước như sau:

Bước 1 (bước cơ sở hay bước khởi đầu): Kiểm tra A(n) đúng với n = 1. Bước 2 (bước quy nạp): Giả sử A(n) đúng với n=k (k≥1,k∈N)

ta chứng minh A(n) đúng với n = k+1. Bước 3: Kết luận: A(n) đúng với mọi số nguyên dương n.

Bài 1: Cho dãy số ( ) nx như sau:

1

1

2

2 , 1,2,... n n

x

x x n +

 =  = + = 

a) Tính 1 2 3 , , . x x x b) Tìm số hạng tổng quát ( số hạng thứ n).

Giải

a) Ta có 1 2 2 2cos 2 x  = = ; 2 3 2 2 2 2 1 2 1 cos 2cos 2 4 2 x       = + = + = + =        

3 2 3 4 2 2 1 cos 2cos 2 2 x x     = + = + =    

.

b) Ta suy ra : 1 2cos , 1,2,... 2 n n x n 

+ = =

Với n =1 1 2cos 2. 4 x  = = n =1 công thức đúng.

Giả sử công thức đúng với n=k (k≥1,k∈N) nghĩa là 1 2cos , 1 2 k k x k 

+ = 

Ta chứng minh công thức đúng với n=k+1 (k≥1,k∈N) nghĩa là 1 2 2cos , 1 2 k k x k  + + = .

Thậy vậy: 1 1 2 2 2 1 cos 2cos 2 2 k k k k x x   + + +   = + = + =    

Vậy công thức tổng quát của dãy số trên là: 1 2cos , 1,2,... 2 n n x n 

+ = =

Bài 2: Cho dãy số ( ) nx như sau:

( )

1

1

3

2 1 , 1,2,... 1 1 2

n n

n

x

x x n x +

 =  + −  = =  + − 

. Tính 2003 x

Giải

Từ công thức ( ) tan tan tan 1 tan .tan

x y x y x y + + = −

.

Chuyên đề : Dãy số và giới hạn của dãy số - Bồi dưỡng học sinh giỏi, Olympic 2020

GV: Nguyễn Thanh Tâm – Trường THPT Tây Ninh Trang 3

Ta có: 2

2

tan 2 1 2tan 8 8 1 tan tan2. tan 2tan 1 0 4 8 8 8 1 tan tan 1 2 8 8

       

 = −  = = =  + −= 

 − = −− 

Vì tan 0 8  nên tan 2 1 8 = −,

1 3 tan , 3 x  = = 2

tan tan 3 8 tan 3 8 1 tan .tan 3 8

x

 

   

+   = = +     −

, 3

tan tan 3 8 8 tan 2 3 8 1 tan .tan 3 8 8

x

  

    

  + +       = = +       − +    

Suy ra công thức tổng quát ( ) tan 1 , 1,2,... 3 8 nx n n     = + − =    

Với n=1 1 tan 0. 3, 3 8 x     = − =    

đúng

Giả sử công thức đúng với n = k (k≥1,k∈N) nghĩa là ( ) tan 1 , 1 3 8 kx k k     = + −     

Ta chứng minh công thức đúng với n = k+1 (k≥1,k∈N) nghĩa là 1 tan , 1 3 8 kx k k   +   = +     

.

Thậy vậy:

( )

( )

( ) 1

tan 1 tan 3 8 8 tan 1 tan , 1 3 8 8 3 8 1 tan 1 .tan 3 8 8

k

k x k k k k

  

        +

  + − +         = = + − + = +            − + −    

Vậy công thức tổng quát của dãy số trên là: ( ) tan 1 , 1,2,... 3 8 nx n n     = + − =    

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Bài 1: Cho dãy số ( ) nx như sau:

( )

1

1

3 3

2 3 , 1,2,... 1 3 2

n n

n

x

x x n x +

 =   + −  = =  + − 

. Tính 2010 x

Hướng dẫn: ta có: tan 2 3 12

= −

Công thức tổng quát của dãy số trên là: ( ) tan 1 , 1,2,... 6 12 nx n n     == + − =    

.

Bài 2: Tìm số hạng tổng quát của dãy số ( ) nx như sau:

1

1

1

3 , 1,2,... 1 3.

n n

n

x

x x n x +

=   +  = =  − 

.