Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân Toán 11 GDPT 2018

Chương 2. Dãy số-Cấp sốcộng-Cấp sốnhân Biết làm, làm đúng, làm nhanh

201

DÃY SỐ-CẤP SỐCỘNG-CẤP SỐNHÂN2 Chûúng

DÃY SỐ-CẤP SỐCỘNG-CẤP SỐNHÂN

201/764 p Toán 11 theo chương trình GDPT2018

1. Dãy số Biết làm, làm đúng, làm nhanh

202

DÃY SỐ 1 Baâi söë

A – KHÁI NIỆM

c Định nghĩa 1.1. Ta có khái niệm vềdãy sốhữu hạn như sau:

○Mỗi hàm sốu: {1; 2; 3; . . . ; m} 7→R (m ∈N∗) được gọi là một dãy sốhữu hạn. Do mỗi sốnguyên dương k (1 ≤k ≤m) tương ứng đúng một sốuk nên ta có thểviết dãy sốđó dưới dạng khai triển: u1; u2; . . .; um.

○Sốu1 được gọi là sốhạng đầu, sốum được gọi là sốhạng cuối của dãy sốđó.

c Định nghĩa 1.2. Ta có khái niệm vềdãy sốvô hạn (gọi tắt là dãy số) như sau:

○Mỗi hàm sốu: N∗7→R được gọi là một dãy sốvô hạn. Do mỗi sốnguyên dương n tương ứng với đúng một sốun nên ta có thểviết dãy sốđó dưới dạng khai triển: u1, u2, . . ., un, . . .

○Dãy sốđó còn được viết tắt là (un).

○Sốu1 gọi là sốhạng thứnhất (hay sốhạng đầu), sốu2 gọi là sốhạng thứhai, . . ., sốun được gọi là số hạng thứn và là sốhạng tổng quát của dãy sốđó.

o Dãy sốkhông đổi là dãy sốcó tất cảcác sốhạng đều bằng nhau.

B – CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ

c Định nghĩa 1.3. Ta có thểcho dãy sốbằng một trong những cách sau:

○Liệt kê các sốhạng của dãy sốđó (với những dãy sốhữu hạn và có ít sốhạng).

○Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi sốhạng của dãy sốđó.

○Cho công thức của sốhạng tổng quát của dãy sốđó.

○Cho bằng phương pháp truy hồi.

C – DÃY SỐTĂNG, DÃY SỐGIẢM

c Định nghĩa 1.4. Ta có định nghĩa:

○Dãy số(un) được gọi là dãy sốtăng nếu un+1 > un với mọi n ∈N∗.

○Dãy số(un) được gọi là dãy sốgiảm nếu un+1 < un với mọi n ∈N∗.

o Không phải mọi dãy sốđều là dãy sốtăng hay dãy sốgiảm. Chẳng hạn, dãy số(un) với un = (−1)n có dạng khai triển là −1, 1, −1, . . . không là dãy sốtăng, cũng không là dãy sốgiảm.

202/764 p Toán 11 theo chương trình GDPT2018

Chương 2. Dãy số-Cấp sốcộng-Cấp sốnhân Biết làm, làm đúng, làm nhanh

203

D – DÃY SỐBỊCHẶN

c Định nghĩa 1.5. Ta có định nghĩa:

○Dãy số(un) được gọi là bịchặn trên nếu tồn tại một sốM sao cho un ≤M với mọi n ∈N∗.

○Dãy số(un) được gọi là bịchặn dưới nếu tồn tại một sốm sao cho un ≥m với mọi n ∈N∗.

○Dãy số(un) được gọi là bịchặn nếu nó vừa bịchặn trên, vừa bịchặn dưới; tức là tồn tại các sốM và m sao cho m ≤un ≤M với mọi n ∈N∗.

E – CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

| Dạng 1. Tìm sốhạng thứk của dãy số

Đểtìm sốhạng cụthểcủa dãy sốta làm như sau

○Với trường hợp dãy sốđã cho biết công thức tổng quát của dãy sốthì ta chỉcần thay giá trịtương ứng của sốhạng đó vào công thức tổng quát.

○Với trường hợp dãy sốcho bởi công thức truy hồi hoặc dưới dạng thì ta phải tìm lần lượt từnhững số hạng đầu tiên cho đến sốđứng trước sốcần tìm trong dãy.

1. Ví dụmẫu

Ví dụ1. Cho hàm số: v : {1; 2; 3; 4; 5} →R

n 7→v(n) = 2n.

Tính v(1), v(2), v(3), v(4), v(5). Ê Lời giải.

○v(1) = 2 · 1 = 2.

○v(2) = 2 · 2 = 4.

○v(3) = 2 · 3 = 6.

○v(4) = 2 · 4 = 8.

○v(5) = 2 · 5 = 10.

□

Ví dụ2. Dãy gồm 10 sốtựnhiên lẻđầu tiên 1; 3; 5; . . . ; 19 có phải là dãy sốhữu hạn không? Nếu có, tìm sốhạng đầu và sốhạng cuối của dãy số. Ê Lời giải. Đây là một dãy sốhữu hạn. Ta có sốhạng đầu u1 = 1 và sốhạng cuối u10 = 19. □

Ví dụ3. Cho các dãy số(an), (bn), (cn), (dn) được xác định như sau.

a1 = 0; a2 = 1; a3 = 2; a4 = 3; a5 = 4. a)

® c1 = 1

cn = cn−1 + 1 (n ≥2). b)

bn = 2n. c) dn là chu vi của đường tròn có bán kính n. d)

Tìm bốn sốhạng đầu tiên của các dãy sốtrên. Ê Lời giải. Sốhạng đầu của các dãy sốtrên là

203/764 p Toán 11 theo chương trình GDPT2018