Phương pháp giải phương trình lượng giác - Trung tâm LTĐH Vĩnh Viễn

Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

70

 Chuyên đề 2: LƯỢNG GIÁC

 Vấn đề 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Phương trình lượng giác cơ bản cosx = cos  x =  + k2

sinx = sin  x k2 x k2      

tanx = tan  x =  + k cotx = cot  x =  + k (với k  )

2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác asin2x + bsinx + c = 0. Đặt t = sinx,  t  1 acos2x + bcosx + c = 0. Đặt t = cosx,  t  1 atan2x + btanx + c = 0. Đặt t = tanx acot2x + bcotx + c = 0. Đặt t = cotx

3. Phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx asinx + bcosx = c (*) Điều kiện có nghiệm: a2 + b2  c2

 Cách 1: Chia hai vế cho 2 2 a b   0

(*) 

2 2 a

a b 

sinx +

2 2 b

a b 

cosx =

2 2 c

a b 

Do

2

2 2 a

a b

      

+

2

2 2 b

a b

      

= 1

Nên có thể đặt

2 2 a

a b 

= cos,

2 2 b

a b 

= sin

Khi đó:

(*)  sinxcos + sincosx =

2 2 c

a b 

 sin(x + ) =

2 2 c

a b 

 Cách 2: Chia hai vế cho a (giả sử a  0)

(*)  sinx + b

a

cosx = c

a

Đặt b

a

= tan. Khi đó: (*)  sinx + sin

cos





cosx = c

a

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN

71

 sinx cos + sin cosx = c

a

cos  sin(x + ) = c

a

cos

 Cách 3: Đặt ẩn số phụ.  Xét x = (2k + 1) với (k  ) có là nghiệm 0  Xét x  (2k + 1) với (k  )

Đặt t = tan x

2

Khi đó: (*)  a 2 2t

1 t 

+ b

2

2 1 t

1 t





= c  (b + c)t2 – 2at + c – b = 0

4. Phương trình đối xứng: a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0

Đặt t = sinx + cosx = 2 cos x 4        

Điều kiện  t  2

Khi đó: t2 = 1 + 2sinxcosx  sinxcosx =

2t 1 2



Thay vào phương trình ta được phương trình đại số theo t.  Chú ý: a(sinx  cosx) + bsinxcosx + c = 0

Đặt t = sinx – cosx (với t 2  )

5. Phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với sinx, cosx asin2x + bsinxcosx + ccos2x = 0

 Xét cosx = 0  x =

2 + k (k  ) có là nghiệm không?

 Xét cosx  0. Chia 2 vế cho cos2x ta thu được phương trình bậc 2 theo tanx.  Chú ý: Nếu là phương trình đẳng cấp bậc k đối với sinx, cosx thì ta xét cosx = 0

và xét cosx  0 chia 2 vế của phương trình cho coskx và ta thu được một phương trình bậc k theo tanx.

B. ĐỀ THI

Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011

Giải phương trình: 2 1 sin2x cos2x 2 sinx.sin2x 1 cot x

   

.

Giải Điều kiện: sinx  0. Khi đó:

(1)      

2

1 sin2x cos2x 2 sinx. 2sinxcosx 1

sin x

Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

72

      2 2 sin x 1 sin2x cos2x 2 2sin x.cosx

    1 sin2x cos2x 2 2 cosx (vì sinx  0)

    2 2cos x 2sinxcosx 2 2 cosx 0

     cosx 0 cosx sinx 2

            cosx 0 sin x 1 4

        x k x k2 2 4

(k  Z) (Thỏa điều kiện sinx  0).

Vậy nghiệm của (1) là        x k x k2 2 4

(k  Z).

Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011

Giải phương trình: sin2xcosx sinxcosx cos2x sinx cosx    

Giải sin2xcosx sinxcosx cos2x sinx cosx    

 2sinx.cos2x + sinx.cosx = 2cos2x – 1 + sinx + cosx

 sinx.cosx(2cosx + 1) = cosx(2cosx + 1) + sinx – 1

 cosx (2cosx + 1)(sinx – 1) = sinx – 1

 sinx – 1 = 0 hoặc cosx (2cosx + 1) = 1

 sinx = 1 hoặc 2cos2x + cosx – 1 = 0

 sinx = 1 hoặc cosx = –1 hoặc cosx = 1

2

 x k2 2     hoặc x k2   hoặc x k2 3    

 x k2 2     hoặc     2 x k 3 3

(k Z)

Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011

Giải phương trình:     

sin2x 2cosx sinx 1 0 tanx 3

Giải

    

sin2x 2cosx sinx 1 0 tanx 3

. Điều kiện: tanx 3 và cosx  0.

    sin2x 2cosx sinx 1 0        2sinxcosx 2cosx sinx 1 0