Phân dạng phương trình lượng giác - Trần Sĩ Tùng

Trần Sĩ Tùng Phương trình lượng giác

Trang 1

I. HỆ THỨC CƠ BẢN

1. Định nghĩa các giá trị lượng giác:

OP OQ AT BT

cos

sin tan ' cot

α α α

α

= = = =

Nhận xét:

• , 1 cos 1; 1 sin 1 α α α ∀ − ≤ ≤ −≤ ≤

• tanα xác định khi k k Z , 2 π α π ≠ + ∈

• cotα xác định khi k k Z , α π ≠ ∈

2. Dấu của các giá trị lượng giác:

Cung phần tư Giá trị lượng giác I II II IV

sinα + + – –

cosα + – – +

tanα + – + –

cotα + – + – 3. Hệ thức cơ bản: sin2α + cos2α = 1; tanα.cotα = 1

2 2 2 2 1 1 1 tan ; 1 cot cos sin α α α α + = + =

4. Cung liên kết: Cung đối nhau Cung bù nhau Cung phụ nhau

cos( ) cos α α − = sin( ) sin π α α − = sin cos 2 π α α   − =    

sin( ) sin α α − = − cos( ) cos π α α − = − cos sin 2 π α α   − =    

tan( ) tan α α − = − tan( ) tan π α α − = − tan cot 2 π α α   − =    

cot( ) cot α α − = − cot( ) cot π α α − = − cot tan 2 π α α   − =    

CHƯƠNG 0 ÔN TẬP CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC –

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

cosin O

cotang

sin

tang

p A

M Q

B T'

α

T

Phương trình lượng giác Trần Sĩ Tùng

Trang 2

5. Bảng giá trị lượng giác của các góc (cung) đặc biệt

II. CÔNG THỨC CỘNG Công thức cộng:

Cung hơn kém π Cung hơn kém 2

π

sin( ) sin π α α + = − sin cos 2 π α α   + =    

cos( ) cos π α α + = − cos sin 2 π α α   + = −    

tan( ) tan π α α + = tan cot 2 π α α   + = −    

cot( ) cot π α α + = cot tan 2 π α α   + = −    

0

6 π 4 π

3 π

2 π 2

3

π 3

4

π π 3

2

π 2π

00 300 450 600 900 1200 1350 1800 2700 3600

sin 0 1 2

2 2

3 2

1 3 2

2 2

0 –1 0

cos 1 3 2

2 2

1 2

0 1 2 − 2 2 − –1 0 1

tan 0 3 3

1 3 3 − –1 0 0

cot 3 1 3 3

0 3 3 − –1 0

sin( ) sin .cos sin .cos a b a b b a + = + sin( ) sin .cos sin .cos a b a b b a − = − cos( ) cos .cos sin .sin a b a b a b + = − cos( ) cos .cos sin .sin a b a b a b − = +

tan tan tan( ) 1 tan .tan

a b a b a b + + = −

tan tan tan( ) 1 tan .tan

a b a b a b − − = +

Hệ quả: 1 tan 1 tan tan , tan 4 1 tan 4 1 tan π α π α α α α α     + − + = − =     − +    

Trần Sĩ Tùng Phương trình lượng giác

Trang 3

III. CÔNG THỨC NHÂN 1. Công thức nhân đôi: sin2 2sin .cos α α α =

2 2 2 2 cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin α α α α α = − = − = −

2

2 2tan cot 1 tan2 ; cot 2 2cot 1 tan

α α α α α α

− = = −

2. Công thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t = tan 2

α : (*)

Đặt: t k tan ( 2 ) 2 α α π π = ≠ + thì: t

t2 2 sin

1 α =

+

; t

t

2

2 1 cos

1 α − =

+

; t

t2 2 tan

1 α =

−

IV. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI 1. Công thức biến đổi tổng thành tích:

2. Công thức biến đổi tích thành tổng:

1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b

  = − + +  

  = − − +  

  = − + +  

cos cos 2cos .cos 2 2 a b a b a b + − + =

cos cos 2sin .sin 2 2 a b a b a b + − − = −

sin sin 2sin .cos 2 2 a b a b a b + − + =

sin sin 2cos .sin 2 2 a b a b a b + − − =

sin( ) tan tan cos .cos

a b a b a b + + =

sin( ) tan tan cos .cos

a b a b a b − − =

sin( ) cot cot sin .sin

a b a b a b + + =

b a a b a b sin( ) cot cot sin .sin

− − =

sin cos 2.sin 2.cos 4 4 π π α α α α     + = + = −        

sin cos 2 sin 2 cos 4 4 π π α α α α     − = − = − +        

Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*)

2

2

2

1 cos2 sin 2 1 cos2 cos 2 1 cos2 tan 1 cos2

α α

α α

α α α

− =

+ =

− = +

3

3

3

2

sin3 3sin 4sin cos3 4cos 3cos 3tan tan tan3 1 3tan

α α α α α α α α α α

= − = − − = −