Chuyên đề hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - Trần Văn Tài

TÀI LIỆU HỌC TẬP CHẤT LƯỢNG CAO – 2017 BÀI GIẢNG: CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - PT LƯỢNG GIÁC

ADMIN TRẦN VĂN TÀI & THẦY CÔ THÀNH VIÊN TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 1 | THBTN

1. Phương trình lượng giác đưa về bậc hai và bậc cao cùng 1 hàm lượng giác

Quan sát và dùng các công thức biến đổi để đưa phương trình về cùng một hàm lượng giác (cùng sin hoặc cùng cos hoặc cùng tan hoặc cùng cot) với cung góc giống nhau, chẳng hạn:

Dạng Đặt ẩn phụ Điều kiện

2 sin sin 0 a X b X c    sin t X  1 1 t 

2 cos cos 0 a X b X c    cos t X  1 1 t 

2 tan tan 0 a X b X c    tan t X  2 X k    

2 cot cot 0 a X b X c    cot t X  X k 

Nếu đặt 2 2 sin , cos t X X  hoặc sin , cos t X X  thì điều kiện là 0 1 t .

Ví dụ 1. Giải phương trình: 2 4cos 4sin 1 0. x x  

Giải:

  2 2 pt 4 1 sin sin 1 0 4sin sin 3 0 x x x x       

sin 1 3 sin 4

x

x

     

Với sin 1 2 , 2 x x k k      

Với

3 arcsin 2 4 3 sin , 4 3 arcsin 2 4

x k x k x k



 

                         

Ví dụ 2. Giải phương trình: cos2 3cos 2 0. x x   

Giải:

2 2 cos 1 pt 2cos 3cos 1 0 , 1 2 cos 3 2

x k x x x k x k x

  

                  

Ví dụ 3. Giải phương trình: 3cos2 7sin 2 0. x x   

Giải:

CHUYÊN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

TÀI LIỆU HỌC TẬP CHẤT LƯỢNG CAO – 2017 BÀI GIẢNG: CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - PT LƯỢNG GIÁC

2 | THBTN – CA BIÊN SOẠN THẦY TÀI + THẦY CÔ BTN

  2 2 pt 3 1 2sin 7sin 2 0 6sin 7sin 5 0 x x x x         

5 sin 3 1 sin 2

x

x

      

Với 5 sin 3 x  thì pt vô nghiệm vì sin [ 1;1] x

Với

2 1 6 sin , 7 2 2 6

x k x k x k

 

 

         

Ví dụ 4. Giải phương trình: 4 2 4sin 5cos 4 0. x x   

Giải:

  4 2 4 2 pt 4sin 5 1 sin 4 0 4sin 5sin 1 0 x x x x        

2

2

sin 1 1 sin 4

x

x

     

Với 2 2 sin 1 cos 0 cos 0 , 2 x x x x k k          

Với 2 1 1 cos2 1 1 sin cos2 , 4 2 4 2 6 x x x x k k            

Ví dụ 5. Giải phương trình: 2 cos4 12sin 1 0. x x  

Giải:

    2 2 pt 2cos 2 1 6 1 cos2 1 0 2cos 2 6cos2 4 0 x x x x          cos2 1 cos2 2 x x     

Với cos2 1 , x x k k    

Với cos2 2 x  thì phương trình vô nghiệm

Ví dụ 6. Giải phương trình: 2 1 2 5 tan 0. 2 cos 2 x x    

Giải:

Điều kiện cos 0 x 

2 1 1 2 5 pt 1 0 2 cos cos 2 x x           

2 1 1 1 . 2. 2 0 2 cos cos x x    

1 1 2 cos 2 , cos 2 3 x x k k x          

TÀI LIỆU HỌC TẬP CHẤT LƯỢNG CAO – 2017 BÀI GIẢNG: CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - PT LƯỢNG GIÁC

ADMIN TRẦN VĂN TÀI & THẦY CÔ THÀNH VIÊN TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 3 | THBTN

ÀI T V N ỤN

BT 1. [1D1-2]Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 2 2sin sin 1 0. x x   b) 2 4sin 12sin 7 0. x x   

c) 2 2 2sin (2 2)sin 1 0. x x    d) 3 2 2sin sin 2sin 1 0. x x x    

e) 2 2cos 3cos 1 0. x x   f) 2 2cos 3cos 2 0. x x   

g) 2 2cos ( 2 2)cos 2. x x    h) 2 4cos 2( 3 2)cos 6. x x   

i) 2 tan 2 3 tan 3 0. x x   j) 2 2tan 2 3 tan 3 0. x x  

k) 2 tan (1 3)tan 3 0. x x     l) 2 3cot 2 3cot 1 0. x x  

m) 2 3cot (1 3)cot 1 0. x x    n) 2 3cot (1 3)cot 1 0. x x   

Lời giải

a) [1D1-2] 2 2sin sin 1 0 x x  

2 2 sin 1 2 , 1 6 sin 2 7 2 6

x k x x k k x

x k

 

 

 

                    

.

b) [1D1-2] 2 4sin 12sin 7 0. x x   

7 2 sin 6 2 , 1 5 sin 2 2 6

x k x k x x k

 

 

                   

.

c)

2 2 2sin (2 2)sin 1 0 x x   

2 sin 2 6 , 1 5 sin 2 2 6

x k x k x x k

 

 

                

.

d) [1D1-2] 3 2 2sin sin 2sin 1 0 x x x    

2 2 sin 1 2 1 6 sin , 5 2 2 sin 1 6

2 2

x k

x x k x k x k x

x k

 

 

 

 

                          

e) 2 2cos 3cos 1 0 x x  