Hướng dẫn giải các dạng toán hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

CHƯƠNG1 HÀM SỐLƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

BÀI 1. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Đường tròn lượng giác và dấu của các giá trịlượng giác

cos

sin

O

+

A(1; 0) A′(−1; 0)

B(0; 1)

B′(0; −1)

(I) (II)

(III) (IV)

Góc phần tư Giá trịlượng giác I II III IV sin α + + − − cos α + − − + tan α + − + − cot α + − + −

2 Công thức lượng giác cơ bản

sin2 x + cos2 x = 1 1 + tan2 x = 1 cos2 x 1 + cot2 x = 1 sin2 x tan x cot x = 1

3 Cung góc liên kết

Cung đối nhau Cung bù nhau Cung hơn kém π cos(−α) = cos α cos(π −α) = −cos α cos(α + π) = −cos α sin(−α) = −sin α sin(π −α) = sin α sin(α + π) = −sin α tan(−α) = −tan α tan(π −α) = −tan α tan(α + π) = tan α cot(−α) = −cot α cot(π −α) = −cot α cot(α + π) = cot α

Cung phụnhau Cung hơn kém π

2 cos π

2 −α = sin α cos π

2 + α = −sin α

sin π

2 −α = cos α sin π

2 + α = cos α

tan π

2 −α = cot α tan π

2 + α = −cot α

cot π

2 −α = tan α cot π

2 + α = −tan α

23

24 CHƯƠNG 1. HÀM SỐLƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

4 Công thức cộng

sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a cos(a + b) = cos a cos b −sin a sin b

sin(a −b) = sin a cos b −sin b cos a cos(a −b) = cos a cos b + sin a sin b

tan(a + b) = tan a + tan b

1 −tan a tan b tan(a −b) = tan a −tan b

1 + tan a tan b

tan π

4 + x = 1 + tan x

1 −tan x tan π

4 −x = 1 −tan x

1 + tan x

5 Công thức nhân đôi, công thức hạbậc

Công thức nhân đôi Công thức hạbậc

sin 2α = 2 sin α cos α sin2 α = 1 −cos 2α

2

cos 2α = cos2 α −sin2 α = 2 cos2 α −1 = 1 −2 sin2 α cos2 α = 1 + cos 2α

2

tan 2α = 2 tan α 1 −tan2 α tan2 α = 1 −cos 2α

1 + cos 2α

cot 2α = cot2 α −1

2 cot α cot2 α = 1 + cos 2α

1 −cos 2α

Công thức nhân 3 " sin 3α = 3 sin α −4 sin3 α

cos 3α = 4 cos3 α −3 cos α

tan 3α = 3 tan α −tan3 α

1 −3 tan2 α

6 Công thức biến đổi tổng thành tích

cos a + cos b = 2 cos a + b

2 cos a −b

2 cos a −cos b = −2 sin a + b

2 sin a −b

2

sin a + sin b = 2 sin a + b

2 cos a −b

2 sin a −sin b = 2 cos a + b

2 sin a −b

2

tan a + tan b = sin(a + b)

cos a cos b tan a −tan b = sin(a −b)

cos a cos b

cot a + cot b = sin(a + b)

sin a sin b cot a −cot b = sin(b −a)

sin a sin b

Đặt biệt

sin x + cos x = √

2 sin x + π

4

= √

2 cos x −π

4

sin x −cos x = √

2 sin x −π

4

= − √

2 cos

7 Công thức biến đổi tích thành tổng

1. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM 25

cos a · cos b = 1

2 [cos(a −b) + cos(a + b)]

sin a · sin b = 1

2 [cos(a −b) −cos(a + b)]

sin a · cos b = 1

2 [sin(a −b) + sin(a + b)]

Bảng lượng giác của một sốgóc đặc biệt

độ 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 120◦ 135◦ 150◦ 180◦ 360◦

rad 0 π

6

π

4

π

3

π

2

2π

3

3π

4

5π

6 π 2π

sin α 0 1 2

√

2 2

√

3 2 1

√

3 2

√

2 2

1 2 0 0

cos α 1

√

3 2

√

2 2

1 2 0 −1

2 − √

2 2 − √

3 2 −1 1

tan α 0

√

3 3 1

√

3 kxđ − √

3 −1 − √

3 3 0 0

cot α kxđ

√

3 1

√

3 3 0 − √

3 3 −1 − √

3 kxđ kxđ

Một điểm M thuộc đường tròn lượng giác sẽcó tọa độM(cos α, sin α)

x

y

0◦

30◦

60◦ 90◦ 120◦

150◦

180◦

210◦

240◦

270◦ 300◦

330◦

360◦

π

6

π

4

π

3

π

2 2π

3 3π

4 5π

6

π

7π

6

5π

4 4π

3 3π

2

5π

3

7π

4

11π

6

2π

√

3 2 , 1

2

√

2 2 , √

2 2

1 2, √

3 2

− √

3 2 , 1

2

− √

2 2 , √

2 2

−1

2, √

3 2

− √

3 2 , −1

2

− √

2 2 , − √

2 2

−1

2, − √

3 2

√

3 2 , −1

2

√

2 2 , − √

2 2

1 2, − √

3 2

(−1, 0) (1, 0)

(0, −1)

(0, 1)