Tài liệu chủ đề hàm số lượng giác

Trang 1

CHỦ ĐỀ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1) Các hệ thức lượng giác cơ bản

* Hàm số sin y x D R   

* Hàm số cos y x D R   

* Hàm số tan \ 2 y x D R k            

* Hàm số   cot \ y x D R k   

* Hàm số  

u x y v x   điều kiện xác định là  0 v x 

* Hàm số 



u x y

v x   điều kiện xác định là  0 v x 

2) Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác

- Định nghĩa

Hàm số  y f x  có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn, nếu tồn tại một số 0 T  sao cho với

mọi x D  ta có:

* x T D   và x T D  

*    f x T f x  

Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.

Người ta chứng minh được rằng hàm số sin y x  tuần hoàn với chu kì 2 T   ; hàm số cos y x  tuần

hoàn với chu kì 2 T   ; hàm số tan y x  tuần hoàn với chu kì T   ; hàm số cot y x  tuần hoàn với

chu kì T   .

- Chú ý

* Hàm số   sin y ax b   tuần hoàn với chu kì 0

2 T a

 

* Hàm số   cos y ax b   tuần hoàn với chu kì 0

2 T a

 

* Hàm số   tan y ax b   tuần hoàn với chu kì 0T a  

* Hàm số   cot y ax b   tuần hoàn với chu kì 0T a  

Trang 2

* Hàm số  1 y f x  tuần hoàn với chu kì 1T và hàm số  2 y f x  tuần hoàn với chu kì 2T thì hàm số

  1 2 y f x f x   tuần hoàn với chu kì 0T là bội chung nhỏ nhất của 1T và 2T .

3) Tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

- Định nghĩa

* Hàm số  y f x  có tập xác định D được gọi là hàm số chẵn nếu nó thỏa mãn đồng thời hai điều kiện

sau:   

x D x D

f x f x

     

* Hàm số  y f x  có tập xác định D được gọi là hàm số lẻ nếu nó thỏa mãn đồng thời hai điều kiện

sau:   

x D x D

f x f x

     

- Chú ý

* Các hàm số chẵn thường gặp:     2 2 2 cos ; cos ; sin ; sin ; cos x kx x kx kx

* Các hàm số lẻ thường gặp: 3 3 sin ; tan ; cot ; sin ; tan ... x x x x x

* Hàm số  f x chẵn và  g x lẻ thì hàm   . f x g x và  

f x

g x đều là hàm số lẻ.

* Hàm số  f x và  g x đều là hàm lẻ thì hàm   . f x g x và  

f x

g x đều là hàm số chẵn.

4) Sự biến thiên và đồ thị các hàm số lượng giác

a) Hàm số y = sinx

* Tập xác định: D R 

* Tập giá trị   1; 1 T  , có nghĩa là 1 sin 1 x  

* Là hàm số tuần hoàn chu kì 2, có nghĩa   2 sin x k x    với k 

* Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng 2 ; 2 2 2 k k             

và nghịch biến trên mỗi khoảng

3 2 ; 2 , 2 2 k k k             



* Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. Đồ thị hàm số như hình vẽ bên

dưới.

Trang 3

b) Hàm số y = cosx

* Tập xác định: D R 

* Tập giá trị   1; 1 T  , có nghĩa 1 sin 1 x  

* Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2, có nghĩa   cos 2 cos x k x    với k 

* Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng   2 ; 2 k k      và nghịch biến trên mỗi khoảng

  2 ; 2 , k k k    

* Là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng. Đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới

c) Hàm số y = tanx

* Tập xác định \ , 2 D k k             

* Tập giá trị T 

* Là hàm số tuần hoàn với chu kì , có nghĩa   tan tan x k x    với k 

* Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ; , 2 2 k k k              



* Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng